中国数学

001 中国数学

中国数学历史悠久、内容丰富、体系完整、成就辉煌，在世界数学发展史上占有重要地位。中国古代数学在位值制、记数法、筹算法、极限论、圆周率、方程论、正负数、内插法、组合数学、二项式系数、不定方程、高次方程数值解法、同余理论、初等数论等几十个领域内都取得领先世界的成就。对朝鲜、日本、印度、阿拉伯、欧洲等的数学发展产生了积极影响。中国现代数学在数论、函数论、微分几何、拓扑学、代数、数理统计、计算数学、应用数学等多个领域也都取得了许多卓越成就。远古时代，人们在生产和生活实践中逐渐积累了大量关于事物数量与形状的知识，初步抽象出数与形的概念。结绳与刻划是文字产生前的原始记数法。商代殷墟甲骨文已采用十进制的文字记数。算筹记数是世界上最先进的十进位值制记数法。“九九”乘法歌诀在春秋初期已广为流传。在十进位值制记数法基础上，以筹为算具的筹算是中国古代独具特色的计算方法。中国古代数学的辉煌成就正是在筹算基础上取得的。从河套人的骨器到仰韶文化的彩陶，大量的器物上刻绘有直线、平行线、三角形、圆、方、菱形，及各种对称图形和一些复杂图案。在西安半坡遗址，有圆形和方形的房基地。这都说明当时对形已有相当的认识，并有确定方圆的简单方法。传说禹治水时规矩、准绳不离左右，“望山川之形定高下之势”。规、矩、准、绳作为测绘工具已广泛使用。《周髀算经》在陈子答荣方问中给出了勾股定理的一般形式。人们已运用勾股定理、相似形知识和矩的不同摆法测算远处物体的高度和距离。春秋战国时期，百家争鸣，学术繁荣。由于“履亩而税”、筑城建仓、兴修水利、计算人工、制定历法、制造器具的需要，数学得到相应的发展。人们已掌握面积体积计算、比例分配问题解法、分数运算、等分圆周等。中国最早的数学专著《算数书》已载有上述有关内容。战国齐人著《考工记》，实录了分数、角度和标准量器的资料。《周易》中八卦已具有组合数学思想的萌芽。诸子的一些学派抽象概括出许多与数学有关的概念和命题。《墨经》中严格定义了几何概念；《庄子》中的著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，表现了深刻的极限思想。从西周开始，已实行了最早的数学教育。这个时期的数学发展为中国古代数学体系的形成奠定了基础。秦汉到晚唐的1100多年间，数学研究和教育均有显著发展。《九章算术》的成书标志着中国古代数学体系的形成。它系统总结了西周至秦汉期间中国数学的重大成就，反映了其高度发展的数学水平，体现了中国古代数学以算法为中心、理论密切联系实际的突出特点，为后世数学发展开辟了广阔前景。赵爽、刘徽、祖冲之、李淳风、贾宪均为其作过注释。刘徽《九章算术注》论证了其大部分数学方法，明确阐释有关概念，创造性地提出开方不尽求微数、出入相补原理、割圆术等新思想、新方法。通过十进不尽小数的引入，以及开方与圆周率的极限计算，《九章算术》与刘徽注实际上已经完成了整个实数系统，在多方面为中国古典数学发展奠定了坚实的理论基础。祖冲之的圆周率是举世公认的重大成就。他与子祖暅巧妙地解决了球体积计算问题，提出了几何体的“等积原理”。《缀术》汇集了祖氏父子的数学研究成果。600年，刘焯在 《皇极历》 中创用等间距二次内插公式。7世纪初，王孝通在《缉古算经》中提出世界上最早的三次方程数值解法，解决土木工程中的有关问题。724年，僧一行在《大衍历》中创用自变量不等间距内插公式。以上均为世界性数学成就。李淳风等注释算经十书。为后世保存了宝贵的数学史料。从北宋初年到元代中期，经济蓬勃发展，学术空前繁荣，是中国古代数学的全盛时期。这期间人材辈出，硕果累累，著述如林。尤其是13世纪下半叶到14世纪初，相继出现了李冶、秦九韶、杨辉、朱世杰等著名数学家及一批重要数学著作。如：《数书九章》、《测圆海镜》、《益古演段》、《详解九章算法》、《杨辉算法》、《算学启蒙》和《四元玉鉴》等。这些著作记载了一批具有世界意义的成就，集中反映了宋元高度发展的数学水平。如高次方程的数值解法、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术、招差术等。11世纪中叶，北宋数学家贾宪著《黄帝九章算法细草》，提出著名的开方作法本源图(今称贾宪三角)和增乘开方法。贾宪三角是数学史上的重大发现。增乘开方法首先由贾宪根据开方作法本源图的构造原理所创造。后经刘益等人的发展，最后由秦九韶将该法用于高次方程的数值解法，简捷明确，成为具有世界意义的重大成就。增乘开方法使解方程有了完善的方法，又促进了对方程布列方法的研究与改进。遂有中国古代数学家的又一杰出创造——天元术的产生。朱世杰将此法推广到多元高次方程组，创造“四元术”，使古代方程论及整个代数学得以全面发展。秦九韶集前贤之大成，在《数书九章》中创“大衍求一术”，提出关于一次同余式组问题的完整理论与方法，取得举世公认的卓越成就。沈括首创“隙积术”，开研究高阶等差级数求和方法之先河。杨辉进一步丰富隙积术成果，使之发展为垛积术。朱世杰得到一系列重要垛积公式，在王恂、郭守敬创用三次内插法基础上将垛积术的研究成果用于内插法，得到一般的插值公式。朱世杰的垛积招差术全面推进了宋元数学家在这一领域的研究工作，其成果早于西方数学家300多年。中唐以后，随着经济的不断发展，计算量日益增多，且愈加复杂，简化筹算已是大势所趋。唐宋以来陆续出现许多简算法。北宋沈括指出：“见简即用，见繁即变，不胶一法。”反映了要求简化计算的趋势。南宋杨辉的著作系统记述了“以加代乘”、“以减代除”的各种简算法，并以歌诀形式表达，易记易用。筹算简算歌诀的产生为筹算向珠算的演变奠定了基础。此外在纵横图、会圆术、勾股容圆问题、球面三角学、三斜求积等方面也都获得相当出色的成就。宋元时期官办教育渐衰，民间数学教育却有所发展。杨辉提倡数学教育应循序渐进，注重培养计算能力。在《乘除通变本末》中给出的《习算纲目》是中国数学教育史上的重要文献。从元代中期到清末近550年是中国数学发展的低潮。尤其是朱世杰之后的近300年间，古籍大多散佚，古法亦多失传，数学人材后继乏人，高深的理论研究几乎完全中断，学术濒于湮灭，为中算史上前所未有的沉寂时期。此后，数学研究的方向与内容均发生了变化。明初以后，商品经济的长足发展促进了商业算术的发展。珠算逐渐普及，完成了由筹算到珠算的演变。珠算的发明是中华民族在数学领域内对世界文明的又一突出贡献。明代出现很多珠算著作。其中程大位的 《直指算法统宗》(1592)印数之多、影响之大为中算史所罕有。明末清初，随着传教士来华，开始了西方初等数学的传入。利玛窦(Mattes Ricci,1552—1610) 与徐光启合译《几何原本》前6卷；与李之藻合编《同文算指》。梅文鼎整理中算、疏解西学，有分析、有鉴别，取其精华，“洋为中用”，对吸收西学、会通中外起了继往开来的重要作用。清康熙帝注重科学，钦定《数理精蕴》，对中西数学的融合和其后数学的发展有重大影响。乾嘉学派发掘、整理、研究古代算书，使濒于湮没的数学典籍重放光芒，为后世研究古代数学发展史、了解祖国古代数学的辉煌成就提供了宝贵的文献资料。阮元等编《畴人传》(1799)为数学家、天文学家立传，着重表彰其卓越的科学成就，是中国历史上的创举。18世纪，经过整理的中国传统数学又有新发展。明安图融合中算与西学，创 “割圆连比例”法和 “级数回求”法，独立得到一批初等函数的幂级数展开式。使传统数学有了变量数学的萌芽。汪莱、李锐在高次方程实根个数判定问题的研究方面，开创了纯理论性质的研究。这期间，中国数学家在初等函数的幂级数展开、方程论、组合数学、球面三角、整数论、画法几何、理论算术、近似开方法等广泛领域内均取得许多成果。为近代数学的发展铺平了道路。18世纪和19世纪前期，随着西方初等数学的传入和中国传统数学的发掘，中国数学家在未接触西方高等数学的情况下，独立取得了一些相当于微积分的成果，使传统数学发展到变量数学阶段，并逐步完成了由初等数学到高等数学的转变。19世纪中期，中国数学进入近代时期。近代数学研究，以李善兰、夏鸾翔、华蘅芳、黄宗宪、刘彝程、周达等人的工作与成果为突出。李善兰、华蘅芳、邹立文、谢洪赉等做了大量的翻译工作。李善兰在译著中创用许多数学名词，至今为中国和日本数学界所沿用。独创尖锥术(相当于积分学)；提出判定素数的考数根四法； 证明了费马 (P. de Fermat,1601—1665)素数定理；发展了垛积术，在组合数学、素数论等多个领域内成就卓著。夏鸾翔全面地综合研究了二次曲线，还广泛研究了超越曲线、双曲函数和曲线求积问题，将椭圆求周术和尖锥术用于曲线求积的研究，获得不少成果。他利用幂级数展开解决了求椭圆弧长问题，其结果与定积分完全一致。黄宗宪、刘彝程等在数论研究方面成就突出。黄宗宪改进了 “大衍求一术”，“一求定母，旧术极繁，……，今析各泛母为极小数根，了如指掌，遇有多式者，一索无余。”(黄宗宪《求一术通解》)使算法大为简化。刘彝程在《简易庵算稿》(1899年)中收有不少不定方程和排列组合问题，题中要求用三角垛和二项式定理求解，颇具中国传统数学特色。20世纪初，周达热心倡导发展中国数学，进行了大量研究工作。在初等几何、数论和组合数学方面均取得一些成就。他最早研究初等几何作图和斯特林公式的证明，并用普通代数法证明了斯特林公式。19世纪20年代，中国数学家在现代数学的一些领域取得创造性研究成果，陆续在国际上发表文章，标志着中国现代数学的开始。这期间，自清末以来先后赴欧美留学的数学家如郑之蕃、姜立夫、陈建功、陈荩民、熊庆来、江泽涵、苏步青、傅种孙、华罗庚等陆续回国，先后在北京大学、南开大学、东南大学、清华大学、武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学等创建数学系。清华大学于1930年开设研究生班，陈建功、苏步青于1931年在浙江大学开办数学讨论班，1938年华罗庚在西南联大举办代数讨论班。中国现代数学教育队伍初步形成，涌现出姜立夫、陈荩民等一大批数学教育家。20—30年代已能独立培养中等和高等人才。一代又一代数学家相继成长，成为中国现代数学界的中坚。陈建功是函数论研究的开创者，1929年著《三角级数论》是世界上第一部该领域内的专著。熊庆来是卓越的函数论专家，在整函数和亚纯函数研究方面取得不少成果。他发现并培养了华罗庚。江泽涵是我国拓扑学的开拓者，培养了我国第一代拓扑学人才。苏步青是微分几何研究的带头人。1926年发表首篇学术论文后，几乎每年都发表研究成果，奠定了我国微分几何研究的基础。傅种孙专攻几何基础和初等几何，从二十年代起不断向国内介绍几何基础知识。许宝騄在概率论和数理统计方面有突出贡献。华罗庚是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论的创始人、开拓者。30年代研究堆垒素数论，对华林问题、哥德巴赫问题等进行了深入研究，成果卓著，创建著名的“华氏定理”。在国际上享有盛誉。陈省身曾受教于姜立夫、孙鎕。30年代先后从师于德国几何学权威W. J. E. 布拉施克和德国微分几何学专家E.嘉当。为他的学术事业奠定雄厚的基础。在微分几何和拓扑学领域有着划时代的重要贡献。曾在清华大学、北京大学、南开大学等任教，培养了一批青年拓扑学家。中国数学会的建立(1935)、数学杂志的创办，对于加强学术交流，推动中国数学的发展都起了重要作用。中华人民共和国建立后，为数学发展开辟了广阔的道路。40多年来，教育规模不断扩大，质量不断提高，培养出一支有朝气、有实力、有水平的数学工作者队伍。在基础理论数学和应用数学诸多领域内的研究工作都取得重大进展。以华罗庚为首的中国数论工作者把哥德巴赫猜想的研究推向世界前列。50年代王元证明了(3+4)、(2+3),60年代潘承洞证明了(1+5)，接着王、潘又证明了 (1+4)、(1+3),1966年陈景润证明了 (1+2),1973年发表详细证明，为世界公认。华罗庚关于在中国普及应用数学方法的工作具有高度开创性，效果巨大，影响深远。曾赴英、法、荷、联邦德国演讲《为百万人的数学》，深得各国学者赞誉。1977年青年数学家杨乐、张广厚对整函数和亚纯函数值分布理论的很多领域，进行了创造性研究，取得了重大成果。陈省身的研究生丘成桐于1976年解决了微分几何中的难题“卡拉比猜想”，进而促成一大批同类方程的解决，取得了代数几何学、复解析几何学、微分几何学、乃至广义相对论领域的一系列重要定理。计算机科学家冯康1965年首创有限元方法，并率先奠定理论基础，是当代世界计算数学与计算力学的重大成就。在国际上有广泛影响。1978年出席巴黎国际工程计算方法会议，并应邀担任执行主席。以秦元勋为代表的数学物理专家们，成功地将数学物理与现代计算相结合，出色完成了原子弹、氢弹实验中的数学计算任务。台湾的数学研究比其他学科开展得早。50年代，台湾大学、“清华大学”、淡江理工学院等先后成立数学研究所。台湾中央研究院数学研究所进行了大量研究工作。60年代前期，在数理逻辑、拓扑学、数学分析、代数学、几何学、概率论等领域开展研究。70年代后，纯数学研究以逻辑、微分几何、李氏群论、偏微分方程、奇异积分和拓扑学为主。同时对应用数学研究给予了充分重视。80年代以来，海外华裔数学家为中国数学的发展作出了重大贡献。其中以陈省身为最突出。他于1982年倡议并组织了在我国举行的一年一度的“双微”(微分几何、微分方程)讨论会。邀请世界第一流数学家作最新成果和动态的报告。亲自出面联系美国数学会和美国工程与应用数学会，联合组织专家来华招生，每年选取10名左右优胜者赴美攻读博士学位。与项武义等一起倡议并组织了“数学研究生暑期教学中心”。1984年，他毅然辞去美国国家数学研究所所长的职务，为在南开大学建立开放的数学研究所奔波，并亲自担任该所所长。这样的华裔数学家还有：丘成桐、项武义、郑绍远、林家翘、肖荫堂、项武忠、伍鸿熙、程毓淮、樊、钟开莱、 杨忠道、施惟枢、李信明、林已玄、林节玄、丘成栋等。华罗庚作为中国近现代数学研究与教学的开拓者之一，也是我国进入世界著名数学家行列的杰出代表之一。对中国数学事业的组织领导、教育及对青年数学家的培养等工作均有特殊贡献。早在1950年代，他就倡导了中国大城市的中学生数学竞赛。1970年代，中国数学会组织了全国性数学竞赛。1985年以来，中国参加了历届国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad)活动，取得较好成绩。1990年7月8日—19日第31届IMO在北京举行。中国选手获金牌5枚、银牌1枚、总分第一的优异成绩。这显示了中国数学界雄厚的后备力量。80—90年代，中国数学研究获迅速发展。国内数学家对数学整体的发展给予了极大重视。制定了首批重大研究项目：“现代数学中的若干基本问题”，总负责是程民德，执行周期为3年 (1988—1990)。该项目包含的课题及负责人是： 计算机数学 (吴文俊); 非线性分析 (张恭庆)；动力系统(李忠)；偏微分方程数值解法及其在科学、工程上的应用(冯康)；整体微分几何及其物理应用(谷超豪)；复分析(杨乐)；代数几何与代数数论(肖刚、冯克勤)；最优化、辩识与控制 (越民义、陈翰馥); 粒子系统与随机分析(严士健)。这9个课题融数学基础理论研究与应用基础研究为一体，体现了中国数学界在数学整体上追赶国际水平的强烈意识。1988年南开数学研究所召开的“21世纪中国数学展望学术讨论会”，提出了“我国的数学在21世纪要率先赶上国际先进水平”的口号。这是中国数学工作者的共同奋斗目标。中国数学家已经在现代数学的多个领域做出许多重要贡献，必将在整个数学领域做出新的更大的贡献。