不定积分的第二换元积分法budingjifen de dierhuanyuan jifenfa

设函数x =φ(x)单调、可导，且ψ′(t)≠0，又设f[ψ(t)〕ψ′(t)具有原函数φ(t)，则根据换元公式

求不定积分的过程叫做第二换元积分法.这里ψ- ¹ (x)是x =ψ(t)，的反函数.
第二换元积分法的基本思路：若∫ f(x)dx不易求，可适当选择x = ψ(t)，将原不定积分化为的形式；而容易求出，且等于ψ(t) +C，则可根据上述法则，通过反函数关系，将ψ(t)+C还原为F[ψ-¹(x)]+C，从而得到所求的结果.这里选择ψ(t)的条件是：
❶ψ(t)单调，可导，且+ψ′(t)≠0，以保证上述法则成立且被积函数f(x)的定义域不变.
❷要使∫f(ψ(t)]ψ′ (t)dt 容易求.
第二换元积分法用来求几种常见的无理函数的积分，十分方便.
❶若被积函数含有因子则可令x =asint或x =a c ost;

❷若被积函数含有因子则可令x =atgt;

❸若被积函数含有因子则可令x =aseet.
例 求
解 令x=asint，则ex=acostdt,t=aresin x/a. a