不动点定理

可用于严格证明某方程式系统的解的存在性的定理。现代数学——拓扑学、集合论中的一个定理，由荷兰数学家布劳威尔(Brouwer,Luitzen Egbertus Jan, 1881—1966)、日本数学家角谷（生卒年不详）分别于1912年和1941年提出。含义大致可描述为：在一定条件下，如果一个映射f 把集合X中的每一个点x变换到集合f(x)，那么存在着不动点x^*，该不动点是包含于其映象f(x)中的点x^* ∈f(x^*)。在经济学中，常将一个经济系统进行模型化，也就是将一个经济系统描述为一个联立方程式系统。方程式系统的解表示该经济系统所处的特定均衡状态。但在传统的经济数学方法中，一个方程式系统的解是否存在，是根据方程式的个数与内生变量的个数是否相等来判断的。如果两者相等，那么解就存在。这是一种凭经验得出的不严格的判断方法。而运用不动点定理，可以严格地证明一个方程式系统解的存在性。美国经济学家阿罗(Arrow,Kenneth Joseph,1921—　)和美籍法国经济学家德布鲁(Debreu, Gerard,1921—　)运用不动点定理证明了瓦尔拉斯一般均衡模型中均衡解的存在性，对一般均衡分析作出了贡献。他们运用不动点定理对瓦尔拉斯均衡所作的严格分析，被称为“阿罗-德布鲁一般均衡分析”。阿罗和德布鲁分别获得1972年度、1983年度诺贝尔经济学奖。

不动点定理fixed point theorem

对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。常用的不动点定理有：
(1)布劳威尔不动点定理(1910年):若A⊂R^N(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f:A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A,x=f(x)。
该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。
(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年):若A⊂R^N且A为非空、紧凸集，f : A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。
不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。

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不动点定理fixed point theorem

参见“微观经济学”学科同名条。