Fuzzy正则半群

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是Fuzzy半群的一个重要研究对象，Fuzzy代数系统的研究是由罗逊菲尔特(A．Rosenfeld)在1971年发表的文章《FuzzyGroups》开始的。

当时他提出Fuzzy群的概念，其中也涉及到Fuzzy半群的原始思想。较系统地研究Fuzzy半群的是从1979年开始的。

1979年黑木(N．Kuroki)提出半群的Fuzzy双理想的概念；1980年戚振开提出Fuzzy亚群的思想，并研究Fuzzy亚群列；1981～1982年黑木进一步研究半群的Fuzzy双理想与Fuzzy理想之间的关系，并提出半群中Fuzzy半素理想的概念；1988年鲍廷莱纳(B．－T．Lerner)又讨论了半群上的Fuzzy(右)拓朴。至此，人们对Fuzzy半群的研究还未深入到它的子结构上去。

直至1990年沈继忠(Shen JZ)在文章《On Fuzzy Regular Subsemigroups of a Semigroup》中才提出Fuzzy正则子半群、Fuzzy弱正则子半群、Fuzzy完全正则子半群和Fuzzy弱完全正则子半群的概念，并且讨论了它们的某些代数特征和性质。

Fuzzy子半群的定义是：设S是一个半群，μ∈F(S)，如果，y∈S有

μ(xy)≥min(μ(x)，μ(y))

则称μ为S的Fuzzy子半群。

Fuzzy正则子半群与Fuzzy弱正则子半群的定义是：设S是一个半群，μ∈F(S)是S的Fuzzy子半群，若μ满足，当μ(x)≠0时，存在x’∈R_x(R_x=｛x’｜x’∈S，xx’x=x｝)，使μ(x’)≥μ(x)，则称μ为S的Fuzzy正则子半群；若μ满足S，当μ(x)≠0时，有Rx≠Φ，且

则称μ为S的Fuzzy弱正则子半群。

W研究的主要结果有：

(1)当μ具有上确界性质时，μ是Fuzzy正则子半群当且仅当μ是Fuzzy弱正则子半群。

(2)μ∈F(S)是S的Fuzzy正则子半群；

(3)若S是半群，令S’=S∪｛1｝是一个带单位元的半群。

，定义μ’∈F(S’)，其中

显然，1∈μ_λ’，则μ∈F(S)是S的Fuzzy正则子半群当且仅当，当μ(x)≠0时，存在λ∈(0，1］及幂等元e∈μ_λ，使xμ_λ’=eμ_λ，其中λ=μ(x)。

(4)设μ∈F(S)是S的Fuzzy子半群，则μ是Fuzzy弱正则子半群当且仅当，当μ(x)≠0时，有(xμx)(x)≥μ(x)。

Fuzzy完全正则子半群和Fuzzy弱完全正则子半群的定义是：设μ∈F(S)是Fuzzy子半群，且满足，当μ(x)≠0时，存在x^*∈R_x∩C_x(C_x=｛y｜y∈S，yx=xy｝)，使μ(x^*)≥μ(x)，则称μ为S的Fuzzy完全正则子半群；若μ满足，当μ(x)≠0时，有Rx∩Cx≠Φ，且

则称μ为S的Fuzzy弱完全正则子半群。

主要结果有：

(1)当μ满足上确界性质时，μ是Fuzzy完全正则子半群，当且仅当μ是Fuzzy弱完全正则子半群。

(2)设μ是S的Fuzzy子半群，则μ为S的Fuzzy弱完全正则子半群，当且仅当，当μ(x)≠0时，有

(x²μx²)(x)≥μ(x)。

(3)设μ是S的Fuzzy子半群，则μ为S的Fuzzy弱完全正则子半群，当且仅当，当μ(x)≠0时，有

(x²u∩μx²)(x)≥μ(x)

对于Fuzzy正则半群的进一步研究，目前尚未发现。但是它的研究内容还是很丰富的。

例如Fuzzy正则子半群与Fuzzy理想、Fuzzy单半群之间关系，如何定义Fuzzy格林(Green)关系，从而讨论Fuzzy完全正则子半群与群并之间的内在联系；也可以进一步研究π－Fuzzy正则子半群。

今后的发展也可能进一步开拓Fuzzy子半群的研究。

1991年沈继忠定义了Fuzzy阿基米德(Archimedean)子半群，并讨论了它的代数结构与性质。主要结果是下述诸命题等价：(1)半群S的每一个Fuzzy真左理想是Fuzzy阿基米德子半群。

(2)FL(S)是S的Fuzzy阿基米德子半群。(3)或S是阿基米德半群；或S中存在一个极大Fuzzy左理想β是S的Fuzzy阿基米德子半群，而且，，有。

。【参考文献】：

1 Zadeh L A. Information and Control,1965,8:338～353

2 Rosenfeld A. J Math Anal Appl,1971,35:512 ～517

3 戚振开.哈尔滨工业大学学报, 1980,2：1～9;1980,4:1～6

4 Kuroki N. Fuzzy bi-ideals in semigroups, Comment Math UnivStPaul, 1980,28:17～21

5 Kuroki N. Fuzzy Sets and Systems,1981,5:203～215 Kuroki N. Fuzzy Sets and Systems,1982,8:771～779 Bogdanovic S. Novi sad, 1985

6 LernerB-T. J Math Anal Appl,1988,134 : 306～311 Shen J Z. Information Sciences, 1990,51:111 ～120

7 沈继忠．江西师范大学学报(自然科学)，1991，2∶109～113

(江西师范大学沈继忠教授撰；应明生教授审)