微分

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微分的定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x₀及x₀+△x都在这区间内．如果函数的增量

△y=f(x₀+△x)－f(x₀)

可表示为

△y=A·△x+o(△x)，

其中A是不依赖于△x的常数，o(△x)是△x高阶的无穷小，那么称函数y=f(x)在点x₀是可微的，其中A·△x叫做函数y=f(x)在点x₀相应于自变量增量△x的微分．记作dy，即

dy=A△x．

定理 函数f(x)在点x₀可微的充分必要条件是函数f(x)在点x₀处可导，且

A=f′(x₀)．

自变量x的增量△x称为自变量x的微分，并记作dx，即

△x=dx．

函数y的微分可记作

dy=f′(x₀)dx．

导数也称为微商

若f′(x₀)≠0，则称dy=f′(x₀)dx是△y的线性主部，其含义是指

几何意义 △y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量，dy是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量(见图3．3)．

图3．3

常用的微分公式

d(c)=0；

d(sinx)=cosxdx；

d(cosx)=－sinxdx；

d(tanx)=sec²xdx；

d(cotx)=－csc²xdx；

d(secx)=secxtanxdx；

d(cscx)=－－cscxcotxdx；

d(x^μ)=μx^μ－1dx；

d(a^x)=a^xlnadx(a＞0，且a≠1)；

d(e^x)=e^xdx；

函数和、差、积、商的微分法 设函数u，v可微，则u±v，uv，均可微，且

d(u±v)=du±dv；

d(cu)=cdu；

d(uv)=vdu+udv；

微分形式的不变性 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，则

dy=．f′(u)du，

这一性质称为一阶微分形式的不变性．