向量的线性相关性

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线性组合 设α₁，α₂，…，αs是数域P上的s个n维向量，k₁，k₂，…，k_s是数域P上的一组数，则称向量

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s

是向量α₁，α₂，…，α_s的一个线性组合，其中k₁，k₂，…，k_s称为线性组合系数．

线性表示 若向量β能表示成向量组α₁，α₂，…，α_s的一个线性组合，即若有一组数k₁，k₂，…，k_s，使得

β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s，

则称β可由向量α₁，α₂，…，α_s线性表示，其中k₁，k₂，…，k_s称为线性表示系数．

线性表示的充分必要条件 向量β可以由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示的充分必要条件是，以α₁，α₂，…，α_s为系数列向量，以β为右端常数项向量的线性非齐次方程组

α₁x₁+α₂x₂+…+α_sx_s=β

有解，且方程组的任一解就是线性表示系数．

任一向量均可由基本向量组线性表示 向量组

称为n维向量的基本向量组．任一n维向量α=(a₁，a₂，…，a_n)均可由基本向量组ε₁，ε₂，…，ε_n线性表示，即

α=a₁ε₁+a₂ε₂+…+a_nε_n，

且表示法惟一．

向量的线性相关性

线性相关 数域P上的n维向量组α₁，α₂，…，α_s，若存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0

成立，则称向量组是线性相关的．

线性无关 一个向量组如果不是线性相关的，则称为是线性无关的．即若对于任意的不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，都有

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s≠0，

则称向量组α₁，α₂，…，α_s是线性无关的．

或者说，如果

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0

当且仅当k₁=k₂=…=k_s=0，则称向量组α₁，α₂，…，α_s是线性无关的．

线性相关性的判别定理

定理1 向量组α₁，α₂，…，α_s(s≥2)线性相关的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_s中至少有一个向量可以由其余的向量线性表示．

定理1′ (定理1的逆否命题) 向量组α₁，α₂，…，α_s(s≥2)线性无关的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_s中任一向量均不能由其余向量线性表示．

定理2 设

则向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关的充分必要条件是以α₁，α₂，…，α_s为系数列向量的齐次线性方程组

α1x₁+α₂x₂+…+α_sx_s=0，

即

有非零解，且每一个非零解(x₁，x₂，…，x_s)即是

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0

的线性组合系数(k₁，k₂，…，k_s)．

定理2′ (定理2的逆否命题) 向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关的充分必要条件是以α₁，α₂，…，α_s为系数列向量的齐次线性方程组

α₁x₁+α₂x₂+…+α_sx_s=0

只有零解．

定理3 若向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关，α₁，α₂，…，α_s，β线性相关，则β可由α₁，α₂，…，α_s线性表示，且表示法惟一．

定理3′ β可由α₁，α₂，…，α_s线性表示，则向量组α₁，α₂，…，α_s，β线性相关(定理1)，若表出法惟一，则α₁，α₂，…，α_s线性无关．

定理4 若向量组β₁，β₂，…，β_t可由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，且t＞s，则β₁，β₂，…，β_t线性相关．

定理4′ 若向量组β₁，β₂，…，β_t可由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，且β₁，β₂，…，β_t线性无关，则t≤s．

线性相关性的一些重要结论

(1)单个向量α≠0，线性无关；α=0，线性相关．

(2)几何空间中两个向量α₁，α₂线性相关(无关)或α₂=lα₁(不能线性表示)共线(不共线)．

三个向量α₁，α₂，α₃线性相关(无关)或α₂=k₂α₁+l₂α₃或α₃=k₃α₁+l₃α₂(均不能线性表示)共面(不共面)．

(3)α₁，α₂，…，α_s线性相关，则增加向量α_s+1，即α₁，α₂，…，α_s，α_s+1线性相关(反之不成立)．α₁，α₂，…，α_s线性无关，则减少向量α₁，α₂，…，α_s－1线性无关(反之不成立)．

(4)向量组｛α_i |α_i=(a_i1，a_i2，…，a_in)，i=1，2，…，s｝线性相关，则其减少维数的缩短组｛β_i|β_i=(a_i1，a_i2，…，a_i，n－1)，i=1，2，…，s｝线性相关(反之不成立)．向量组｛α_i|α_i=(a_i1，a_i2，…，a_in)，i=1，2，…，s｝线性无关，则其增加维数的延伸组｛β_i|β_i=(a_i1，a_j2，…，a_in，a_i．n+1)，i=1，2，…，s｝线性无关(反之不成立)．

(5)n个n维向量α₁，α₂，…，α_n线性相关(无关)有非零解(只有零解)不可逆(A可逆)．

(6)n+1个n维向量必线性相关

(7)A_m×n(m＜n)，A的列向量组线性相关．

(8)n个n维向量α₁，α₂，…，α_n线性无关，则任意一个n维向量均可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，且表示法惟一．