配方法

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通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．

注意 1．用配方法解一元二次方程的步骤：

(1)将方程中的常数项移到方程的右边．

(2)方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

(3)将方程化为(x+m)²=n的形式．若n≥0，则方程两边同时开平方，得到原方程的解．

若n<0时，此方程在实数范围内无解．

2．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，先利用等式的基本性质，把二次项系数化为1，然后再配方．

例1 解方程：

(x－2)²－49=0．

解 移项得 (x－2)²=49．

即 x－2=7或x－2=－7．

∴x₁=9，x₂=－5．

[解析] 直接开平方法主要用于解形式上不含一次项的一元二次方程，依据主要是平方根的定义，形如x²=a(a≥0)或者(xa)²=b(b≥0)的形式都可用此法．

例2 解方程：x²－4x－5=0．

解 移项得x²－4x=5．

配方，得x²－4x+4=5+4．

即 (x－2)²=9．

解这个方程，得x－2=±3．

∴x₁=5，x₂=－1．

[解析] 对于形如x²+px+q=0的一元二次方程的解法关键是化成(x+m)²=n(n≥0)的形式然后直接开平方去求解

例3 解方程：2x²－4x－12=0．

解 方程两边都除以2，得

x²－2x－6=0．

移项，得x²－2x=6．

配方，得x²－2x+1=6+1．

即(x－1)²=7．

∴或．

∴，．

[解析] 对于给出的一元二次方程，系数不是1时，先化为1，然后再配方，直接开平方法求解．

例4 解方程：(2x+1)(x－1)=17．

解 方程化为一般形式2x²－x－18=0．

方程两边都除以2，得x²－1/2x－9=0，

[解析] 对于给出的一元二次方程，不是一般形式的要化成一般形式，然后把二次项系数化为1，把常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方，然后再直接开平方法求解．

例5 已知关于x的一元二次方程(k1)x²+2x－k²－2k+3=0的一个根为零，试求k的值．

解 把x=0代入方程(k－1)x²+2xk²－2k+3=0中，得－k²－2k+3=0．即k²+2k－3=0．

∴k=－3或k=1．

∵方程为一元二次方程，∴k－1≠0，即k≠1，∴k=－3．

[解析] 二次项系数中含有字母时，注意字母的取值应保证二次项系数不为0．

例6 若2x²+1与4x²－2x－5互为相反数，则x的值是( )．

答 B．

[解析] 根据互为相反数的两个数的和为0，可得2x²+1+4x²－2x－5=0．

解这个一元二次方程，可得x₁=1，x₂=－2/3．