等腰梯形的判定

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1．两腰相等的梯形是等腰梯形．

2．同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．

3．对角互补的梯形是等腰梯形．

注意 “两个底角相等的梯形是等腰梯形”这个结论是错误的，因为直角梯形也有两个底角相等，它们分别是一个上底角，一个下底角．因此，用两个角相等来判断一个梯形是等腰梯形的话，必须是同一底上的两个内角相等．

例1 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于点E，CF⊥AB于点F．

(1)请写出图中4组相等的线段；(已知的相等线段除外)

(2)选择(1)中你所写的一组相等线段，说明它们相等的理由．

答 (1)DG=CG，DE=BF，CF=CE，AF=AE，AG=BG．

(2)证AG=BG．

∵在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，

∴梯形ABCD是等腰梯形．

∴∠GAB=∠GBA，∴AG=BG．

例2 已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中全等的三角形有( )对．

A．2 B．4 C．1 D．3

答 D．

[解析] ∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，又AD=AD，AB=DC．

∴△ABD≌△DCA．

同理可知△ABC≌△DCB．

∴∠BAC=∠CDB．

又∵∠AOB=∠DOC，

AB=CD，

∴△AOB≌△DOC．

所以选D．

例3 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ADC=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC=＿＿，梯形ABCD的面积为＿＿．

答 4，12．

[解析] ∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴∠ABC=∠DCB=180°－∠ADC=60°．

又∵CA平分∠BCD，

∴∠1=∠2=30°．

∴∠BAC=90°，在Rt△ABC中，设AB=a，则，BC=2a．

又∵AD∥BC，∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3，∴AD=DC．

∴AD=DC=AB=a．

∴a+a+a+2a=5a=20．

∴a=4．∴．

过A作AF⊥BC于F点，

则AF·BC=AB·AC．

例4 某住宅小区在两条平行道路之间有一块梯形空地，现打算种植两种不同的花卉，为了便于管理，需要在两条道路之间垂直地修一条小路，并把空地分成面积相等的两块，这条小路应该怎样开挖?

[解析] 分别取梯形上、下底的中点A、B并连接，取AB中点O，过O作上下底的垂线，垂足分别为C、D，则CD即为要修的小路的位置．

理由：线段AB把原梯形分割成两个面积相等的梯形(等底同高的两个梯形面积相等)

又易证△OAC≌△OBD．

∴S_△OAC=S_△OBD．

∴S_梯形PQDC=S_梯形CDMN．