等差数列的基本性质

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设{a_n}是等差数列，那么

1．a_n=a_m+(n—m)d． (m，n∈N₊)

2．如果m，n，p，q∈N₊，且m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，特别的当m+n=2p时，a_m+a_n=2a_p．

3．数列{λa_n+b}(a、b为常数)是公差为λd的等差数列．

4．若{b_n}也是公差为d的等差数列，那么{λ₁a_n+λ₂b_n}(λ₁，λ₂为常数)也是等差数列，公差为λ₁d+λ₂d．

5．下标成等差数列，且公差为m的项a_k，a_k+m，a_k+2m，…组成的数列仍是等差数列，公差为md，

一个等差数列，由始到尾，截成项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列，若每段含n项，则新公差为原公差的n²倍，即：在等差数列{a_n}中，公差为d．

设T₁=a₁+a₂+…+a_n；

T₂=a_n+1+a_n+2+…+a_2n；

T₃=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n；

…

T_k=a_(k—1)n+1+a_(k—1)n+2+…+a_(k—1)n+n(n∈N₊)．

对于固定的n，数列{T_k}是等差数列，其公差为n²d．

6．若项数为2n(n∈N₊)，则S_2n=n(a_n+a_n+1)(a_n，a_n+1为中间二项)，且S_偶—S_奇=nd，．

若项数为2n—1，则S_2n—1=(2n1)a_n(a_n为中间项)，且S奇—S_偶=a_n， ．

7．当时，S_n有最大值，此时n满足．

当时，S_n有最小值，此时n满足．

例1 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．

分析 利用概念、公式列方程组求解．

解 设第一个数是a₁，公差为d，由已知条件列出方程组

这5个数分别是

例2 等差数列的前n项和为S_n，若S₁₂=84，S₂₀=460，求S₂₈．

分析 这是一个等差数列的求和公式的基本应用题，必须对等差数列的前n项和公式的几种形式非常熟悉．

解 设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则．

由S₁₂=84，S₂₀=460得

解得a₁=—15，d=4．

例3 设实数a≠0，且函数f(x)=a(x²+1)—()有最小值—1．

(1)求a的值；

(2)设数列{a_n}的前n项和S_n=f(n)，令证明数列{b_n}是等差数列．

a>0，解得a=1，a=—2(舍去)．

(2)证明：由(1)得f(x)=x²—2x，

∴S_n=n²—2n，a₁=S₁=—1．

当n≥2时，a_n=S_n—S_n—1=n²—2n(n—1)²+2(n—1)=2n—3，a₁满足上式即a_n=2n—3，

∵a_n+1—a_n=2(n+1)—3—2n+3=2，

∴数列{a_n}是首项为—1，公差为2的等差数列．

∴{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．