直线与椭圆

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1．直线与椭圆的位置关系：通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论，通常用消元法消去方程组中一个变量，得关于另一个变量的一元二次方程．

ⅰ△>0直线与椭圆相交有两个公共点．

ⅱ△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点．

ⅲ△<0直线与椭圆相离没有公共点．

2．弦长问题

通常将直线方程与椭圆方程联立，得关于x(或y)的一元二次方程，然后用韦达定理，再求弦长，也可直接求直线与椭圆的交点．

例1 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，求m的取值范围．

解法一 直线y=kx+1过定点A(0，1)

∴A(0，1)必在椭圆内或椭圆上，

即，且5>m，故1≤m<5．

解法二 由消去y得(m+5k²)x²+10kx+5(1—m)=0，∴△=100k²—20(m+5k²)(1—m)≥0时任意k∈R恒成立．

∵m>0，∴m≥1—5k²恒成立．

∴1—5k²的最大值为1．

∴m≥1，又m<5．

∴1≤m<5．

例2 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦AB之长．

解 设A、B坐标分别为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由椭圆方程知，a²=4，b²=1，c²=3，

∴F(，0)，

∴直线l的方程为． ❶ 

将❶ 代入x²+4y²=4，化简整理得，

❸ 中点弦问题

通常采用韦达定理或点差法求解，点差法步骤：设点(即设出弦的端点坐标)→代入(即代入曲线方程)→作差(即两式相减)．

例3 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，，求椭圆的方程．

策略 椭圆焦点位置不能确定，可设其方程为mx²+ny²=1(m>0，n>0，m≠n)，本题涉及弦长，要用弦长公式，注意应用根与系数的关系，还有OP⊥OQ，应将k_Op·k_OQ=—1坐标化解决问题．

解 设椭圆方程为mx²+ny²=1(m>0，n>0)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，由

∴由弦长公式得

∴所求椭圆方程为3x²+y²=2或x²+3y²=2．