求可导函f(x)的单调区间的步骤

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1．确定f(x)的定义域(a，b)．

2．求f(x)的导数f(x)．

3．求出f′(x)=0在(a，b)内的实根，x_i(i=1，2，…n)并按从小到大的顺序排列为x₁，x₂，…x_n．

4．确定区间(a，x₁)、(x₁，x₂)、…、(x_n，b)内的导数f(x)的符号．

5．判断，若f(x)在某区间，有f(x)>0，则这个区间为单调递增区间；若f(x)在某区间，有f′(x)<0，则这个区间是单调递减区间．

例1 求函数y=—1/4(x⁴—4x³+3)的单调区间．

解y=—1/4(x⁴—4x³+3)，

y′=—x³+3x²=—x²(x—3)．

当x∈(—∞，0)时，y′>0，函数是增函数，当x∈(0，3)时，y′>0，函数也是增函数，当x=0时，y=—3/4．

∴函数的增区间为：(—∞，0)、(0，3)．

当x∈(3，+∞)时，y′<0，函数是减函数．

函数的增减情况可列成下表：

例2 函数y=ax³—x在(—∞，+∞)上是减函数，则( )．

A．a=1/3 B．a=1

C．a=2 D．a<0

解 y′=3ax²—1，由函数y=ax³—x在(—∞，+∞)上是减函数，则3ax²—1<0恒成立，即ax²<1/3对任意x∈(—∞，+∞)都成立，∴a<0．

本题也可以采用解选择题的常用方法——验证法，由y′=3ax²—1，当a=1/3时，y′=x²—1，如果x>1则y′>0与条件不符，同样可判断a=1，a=2时也不符合题意，当a<0时，y′=3ax²—1恒小于0，则原函数在(—∞，+∞)上是减函数，故选D．

例3 证明函数f(x)=lnsinx在区间(3/2π，2π)上是减函数．

解 f(x)=lnsinx．