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字词 最小二乘法
类别 中英文字词句释义及详细解析
释义 最小二乘法

分为“普通最小二乘法”(Ordinary Least Squares简称OLS)和“广义最小二乘法”(Generalized Least Squares简称GLS)。

普通最小二乘法是适用于[经典线性回归模型]的估计参数的方法。对于经典线性回归方程:

Y=Xβ+u

根据X和Y的样本数据来估计参数β,设估计值为β,则:

Y=Xβ+e

Y的估计值 #,所以e=Y-X β=Y-Y是Y的估计误差。最小二乘法的基本思想是:如果令误差平方和e′e最小,那么估计值#是最接近原值Y的(注意Y和e均为向量,e′表示e的转置)。

由微分学的求极值方法

可推导出:

β=(X′X)-1X′Y

据[高斯-马尔可夫定理],对于经典线性回归模型使用普通最小二乘法,所得的参数估计式(即此处的β)是最优线性无偏估计式。

广义最小二乘法适用于违反经典假定的线性回归模型,设模型为:

Y=Xβ+u

假定E(u)=0,E(uu′)=σ2Ω,其中σ2为常数,Ω为n阶对称正定矩阵,包含了异方差和(或)自相关的信息。

经过模型变换和推导,得到β的广义最小二乘估计式为:

β=(X′Ω-1X)-1X′Ω-1Y

据[高斯-马尔可夫定理],对于违反经典假定的线性回归模型,广义最小二乘估计式(即此处的β)是最优线性无偏估计式。

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