弹性薄壳

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常见的薄壳结构几何形状，有圆柱壳、圆锥壳、球壳、旋转壳等。薄壳受载变形后，如果中曲面上各点的法向位移均比薄壳厚度小得多，则称为薄壳的小挠度问题。

小挠度薄壳理论简化计算的基本假定：

❶ 平行于中曲面各面的法向正应力，比其它应力小得多，忽略不计。

❷ 变形前与中曲面垂直的线段，变形后仍为与中曲面垂直的直线，且长度不变。

薄壳受外力作用，在微元上的内力有两类：

❶ 使薄壳伸长或缩短的力，称为薄膜力，如图1．3－30(a)所示的N_a，N_β和N_aβ。

❷ 使薄壳弯曲或挠曲的力，包括弯矩，扭矩与剪切力，如图1．3－30(b)所示的M_a，M_β，M_aβ、Qa和Qβ。

如果薄壳受均匀外力作用，壳的厚度和曲率没有突然变化，并且没有产生弯矩的边界条件(如与其它构件刚性联结)，此时可以忽略弯矩、扭矩和剪力的影响。只有薄膜力作用的薄壳可以仅由静力学方法计算内力，这种简化计算的理论称为薄膜理论或无矩理论。

2．4．1 旋转薄壳的薄膜理论

若壳体中曲面是由一条曲线或直线绕某轴旋转而成的，则称为旋转壳。过旋转轴的平面与中曲面的交线称为子午线。垂直旋转轴的平面与中曲面的交线是一个圆，称为平行圆。

旋转壳受轴对称载荷作用时，其微元内力，如图1．3－31所示，有：沿子午线方向的单位长度拉力或压力N_Φ；沿平行圆方向的单位长度拉力或压力N_θ；沿子午线切线方向的单位面积载荷分量p_1；沿中曲面法线方向的单位面积载荷分量p_n。

旋转壳薄膜理论的平衡方程为：

由上述二个平衡方程可以求解二个未知内力N_a和N_s。

表1．3－31列出各种旋转壳受轴对称载荷作用时薄膜力和变形的计算公式。

表1．3－31 轴对称旋转壳薄膜力和变形计算公式

当N_x=0，即沿x方向没有拉力或压力时，位移与应变的关系是：

M_θ=－D(K_θ+μK_Φ)

边界条件：

固定边：θ=0_，ε₂=0(u=0) (1．3－72a)

自由边：M_Φ=0，N_Φ=0(或Q_Φ=o) (1．3－72b)

封顶壳：在Φ=0处， (1．3－72c)

轴对称边界载荷作用下冠状球壳的内力和边缘处径向位移δ与转角φ的计算公式见表1．3－35；轴对称边界载荷作用下圆锥壳的内力和边缘处径向位移δ与转角ψ计算公式见表1．3－36。

表1．3－35 冠状球壳内力和边缘变形计算公式

半球壳和圆柱壳半径为R；厚度相同，为t；材料相同(弹性模量E和泊松比μ)；承受内压力p。

先将半球壳与圆柱壳分开，按无矩理论计算。

由表1．3－31查得：

半球壳

与圆柱壳连结的球壳端部，半径增大

与半球壳连结的圆柱壳端部，半径增大，转角φ_s=0。

由此可见，由薄膜应力产生的这两部分半径增大的差值为：

实际上，半球壳与圆柱壳是连续的，它是通过接合处单位周长的剪力Q₀和弯矩M_o的相互作用而保持在一起的。这些相互作用力和力矩将使半球壳和圆柱壳在接合处附近引起局部弯曲应力。由表1．3－35和表1．3－32可以算出，当半球壳(Φ_o=90°)和长圆柱壳的半径R和厚度t相同时，在接合处两种壳由剪力Q₀产生的径向位移和转角相同。因此，当M_o=0而Q_o值能使圆柱壳边缘产生挠度为时，就能满足两种壳在接合处的变形连续条件。由表1．3－32得到

当Q₀值求出后，即可由表1．3－32求得圆住壳离接合处距x的任意点纵向应力：