多重共线性

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指[多变量回归模型]中解释变量之间存在线性相关的情况。

多重共线性最初的含义是指解释变量之间存在完全精确的线性关系，即对于有k个解释变量的回归模型，有k个不完全为零的数λ₁，λ₂，…，λ_k，使

λ₁X₁+λ₂X₂+…+λkX_k=0

成立(教科书中有时把“无多重共线性”表达为rank(X)=k+1即此意)。这种情况下|X′X|=0，导致(X′X)^－1不存在，于是β根本无法求得。

但是解释变量之间这种完全精确的线性关系是很少见的。

更多的情况是解释变量之间存在某种较高程度的线性关系，即把前面的表达式略加改动为

λ₁X₁+λ₂X₂+…+λ_kXk+v_i=0

此处v_i为随机误差。

此时rank(X)=k+1虽成立，β亦可求得，但参数估计量的方差偏大，估计量不准确。

当回归模型存在多重共线性时，一般表现为具有较高的R²值，同时参数检验的t值有多个偏低。

要进一步检验多重共线性，可以逐个用解释变量对其他解释变量作回归来完成。

克服多重共线性的方法有：剔除不重要的共线性变量；或改变模型的设定等。