默森尼数Mosennishu

形如2^p-1的数，记为Mp，这里p是素数。如果Mp是素数，则称之为默森尼素数。默森尼(Meersenne,M.,1588—1648，法)是一位神甫， 却以毕生精力从事科学文化事业， 与伽利略、费尔马、笛卡尔、帕斯卡等学者保持长期的书信交往， 撰写过不少科学著作。1644年， 他在《物理——数学探索》一书的序言中提出猜想：当p=2,3,5,7,13, 17, 19, 31, 67, 127, 257这11个素数时， 自然数M_p＝2^p-1为素数。后人发现当p=67和257时Mp不是素数， 不过由于形如M_p的素数有许多有趣的性质，为了纪念这位较早的研究者，这一类数便以他的名字命名。
实际上， 形如2^p-1的素数早在古希腊时就引起了人们的注意。希腊人重视完全数（参见该条）的研究，欧几里得在《几何原本》等9卷第36命题证明：“若2ⁿ-1 (n>1)是素数，则数m=2n-¹ (2ⁿ-1)是完全数。”容易知道，2ⁿ-1是素数的必要条件是n是素数。希腊人所知道的完全数有4个：6, 28, 496, 8128，分别对应于前4个默森尼素数M₂＝3, M₃＝7, M₅＝31, M₇＝127。在大约1456年的一份无名氏手稿中给出了第5个完全数33550336, 对应于第5个默森尼素数。17世纪初，意大利人卡塔尔迪(Cataldi, P. A.,1552-1626)提出过一系列完全数，分别对应于p=2, 3, 5,7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 但经后人验证p=23, 29, 37时不是完全数。但无论如何， 卡塔尔迪和默森尼对形如2^p-1的素数（或相应的完全数）的探索是十分可贵的， 没有人知道当初他们是如何得出上述结论的，对于较小的p值，可以轻易地验证，但2^67-1, 已是一个21位数，2^127-1有39位数，要确定它们是素数还是合数就太困难了。在默森尼给出的11个p值中，当p=67和257时M，不是素数，对于p<257的情形，他还漏掉了M_61,M89, M₁₀₇，它们分别是1883、1911、1914年发现的， 分别有19、27、33位数。M67不是素数的证明， 直到1903年才由美国数学家科尔(Cole, F. N. 1861—1926)给出，为此他耗去了三年中的所有星期天。
17世纪以来，各时代已知的最大素数的记录都是由默森尼素数创造的。1750年(一说1772年)欧拉证明M31为素数。他生前还证明了默森尼素数与偶完全数一一对应(参见 “完全数”)。1876年，法国数学家卢卡斯(Lucas, F. -. -A.,1842—1891)证明M₁₂₇为素数。此后，所有更大的默森尼素数都是1952年以来利用电子计算机发现的。迄今为止，共发现了30个默森尼素数，前12个分别对应于p=2, 3, 5, 7, 13, 17,19, 31, 61, 89, 107, 127, 已略如前述， 后面的18个所对应的p及M_p的位数分别为：521 (157位);607(183位); 1279 (386位); 2203 (664位); 2281 (687位); 3217 (969位); 4253 (1281位); 4423 (1332位); 9689 (2917位); 9941 (2993位); 11213 (3376位);19937 (6002位);21701 (6533位);23209 (6987位); 44497 (13395位); 86243 (25962位); 132049(30751位);216091 (65050位)。第30个默森尼素数M₂₁₆₀₉₁是1985年发现的。而至今人们还不知道，默森尼素数到底是只有有限个， 还是有无穷多个。