判别分析

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设有K个总体G₁，G₂…G_k，它们的分布函数分别为F₁(y)，…F_k(y)，每个F_i(y)都是m维分布函数，对给定的一个样品y，我们要判断它来自哪个总体，解决这个问题可以有多种途径，常用的判别分析方法有：距离判别、贝叶斯判别和费歇判别。

(1)距离判别：设y到总体G_i的距离为d(y_iG_i)，k个总体G₁G₂…G_k，它们的均值和协差阵分别为：u⁽¹⁾u⁽²⁾…u^(k)，令

R，则判别规则为y∈G_i，如y落在D_i内，i=1，2…k，这就是说按样品至各母体的最近距离分类。若V⁽¹⁾=V⁽²)=…=V^(k)=V，这时判别函数为：

W_ij(y)=(y－(u⁽ⁱ⁾－u^(j))／2)′V^－1(u⁽ⁱ⁾－u^(j))

其判别规则为y∈Gi，如y落在Di内，i=1，…R，其中D_i=｛y∶W_ij＞0，对一切j≠i｝，i=1…R，如果参数u⁽ⁱ⁾，1≤i≤R，V未知，今从R个母体分别抽了，…y，…，y，y…y这批样品，则Wi_j(y)中的参数可用其估计值代替其中，i=1…R，。

(2)贝叶斯判别：设有K个母体G₁，…G_R分别具有m维分布密度P₁(y)，P₂(y)，…P_R(y)，D₁…D_R是R_m的一个划分。判别规则采用：y∈G_i，如y落于D_i，i=1，…R，用L(i、j)表示样品来自G_i而误判为G_i的损失，这一误判概率为j≠i，j=1，…，R，假定这K个母体出现的事前概率为q_i…q_k，则通过划分D₁…D_k来判别的平均损失为：当L(i、j)给定时，贝叶斯判别解D₁…D_k为：

D₁=｛y∶h₁(y)j(y)，j≠L，j=L，…R｝L=1，…R，其中。

(3)费歇线性判别函数：设y_j(i=1，…R)为K个总体的观测值，我们考虑取一个向量α，使T_i=α’y_i尽可能表示这R个总体之间的差异，为此要确定α使Ti的组间方差与组内方差之比L为最大，若设Q_b为T的组间平方和矩阵，Qw为组内平方和矩阵。则有

I=α’Q_bα／α’QW^α

所以α可取为的最大特征根向量，这样的T叫做线性判别函数。

特别当R=2时，若和是两个总体样本的均值向量，则当K＞z时，利用由的较大的r个特征根所对应的特征向量构成的矩阵A并令T_i=AX_i，则得r维线性判别函数。