长期生产函数Product Function in Long Run

所谓长期，是指所有的投入要素都是可以变动的，不存在可变投入与不变投入的划分问题。为了分析各种生产要素如何组合才能产生最佳产量的问题，首先，有必要像无差异曲线分析中引入“效用面”那样，通过引入“生产面”得出“等产量曲线”。如图1所示，资本和劳动的不同组合可得到各种不同的产出量，所有的产出量构成一个曲面，这个曲面叫做“生产面”。这个曲面上与KOL底面之间垂直距离相等的点联成的线，叫作“等产量线”，如AB、CD。不过，为分析方便起见，通常人们只采用二维平面图。因此在KOL平面上的投影A′B′、C′D′等被认定为等产量线(见图1)。
从等产量线上可以看出，投入要素K和L之间具有替代关系，即放弃△L的劳动，产量将减少MP_L·△L；为使产量保持不变，必须增加△K的资本，以使产量增至MP_L·△K，而且这就是边际技术替代率，其标准表达式为：从图1可知，边际技术替代率是等产量曲线的斜率。如果把所有等产量曲线上边际技术替代率为0和∞的点联起来，便可分别得出OCT和OAS这两条脊形线(见图2)。这两条线之间的区域为生产的合理区，即生产区域。

图1 生产面与等产量线

图2 等产量曲线与生产区域

长期生产函数分析除了用于确定生产区域外，还通过引入价格因素(以r代表资本价格即利率，以w代表劳动价格即工资率)，得出等成本线的线性方程式：＝rK+wL(表示总成本)，从而确定“一定成本下使产量最大的投入组合”(或者“一定产量下成本最小的投入组合”)，即“投入的最优组合”。此外，多种产品的最优组合分析可以采用同类方法进行(参见“生产者均衡”辞条)。长期生产函数涉及的另一个重要方面是规模报酬问题。从生产面得出的各个等产量线之间的关系来看：由原点出发，如果产量增幅相等的各等产量线之间距离亦相等，其规模报酬固定；如果距离愈来愈近，其规模报酬递增；如果距离愈来愈远，其规模报酬递减。著名的“欧拉定理”就是研究规模报酬固定情况下的生产情况的。