函数单调性判定的常用方法

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1．定义法

2．图象法

例1 求证：函数f(x)=x³+x在(—∞，+∞)上是增函数．

分析 利用函数单调性的定义进行判定

解 设—∞12<+∞，则f(x₂)—f(x₁)=(x₂³+x₂)—(x₁³+x₁)=(x₂—x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²+1)．

=(x₂—x₁)[(x₂+1/2x₁)²+3/4x₁²+1]．

∵x₁2，

∴x₂—x₁>0．

(x₂+1/2x₁)²+3/4x₁²+1>0．

∴f(x₂)—f(x₁)>0，即f(x₁)2)．

故函数f(x)=x³+x在(—∞，+∞)上是增函数．

例2 确定函数f(x)=x²—2x—3的单调区间．

解 因为f(x)=x²—2x—3=(x—1)²—4，a=1>0，它表示顶点在(1，—4)，开口向上的抛物线，当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(—∞，1)，单调递增区间为[1，+∞)．