连续不动点算法continuation methods for fixed points

受不可压缩定理(the non-retraction theorem)与布劳维尔(Brouwer)不动点定理的等价性证明的启发，开洛克(R.B.Kellogg)、李天岩(T.Y.Li)、约克(J.Yorke)在20世纪70年代提出计算不动点（均衡价格）的下述算法。记实心球为B，它的边界是球面S₀设f:B→B是球体到自身的光滑映射，记f的不动点的集合为K。对从B减去K的余集B/K的每点x,f(x)和x总不重合，从f(x)经x的射线与球面S的交点记作g(x)，就这定义了光滑映射g:B/K→S。(图1)
萨德(Sard)定理断言，S上几乎每一点都是g的正则值。只要x是g的正则值，根据原象定理（整体的隐函数定理）,x的原象g^-1(x)(由所有使g(v)=x的v组成)就是以x为一端的一条光滑曲线。从而开始跟踪这条光滑曲线，就会走到f的一个不动点x^*。(图2)
算法是否可行取决于随机地选取的出发点x是否g的正则值，所以由萨德定理，算法可行的概率是1。实际计算时，算法成功的概率接近1。
计算数学中已经有跟踪曲线的成熟方法。

图1

图2