罗素悖论luosu beilun

康托的集合论著作发表不久，著名的英国哲学家和数学家B·罗素发现，按照康托的朴素集合论的观点，所有集合的全体也应构成一个集合V，但承认V的存在就会导致矛盾，即出现悖论，
罗素这样举例：把所有的集合分成两类，对于一个集合A，如果A本身是A的一个元素即A∈A，那么就称A是第一类集合；其余，凡不是第一类的集合，就称它是第二类集合.
设由所有第二类集合所组成的集合为R，即 R={A|AA}　(1)
现在要确定R是第一类集合还是第二类集合，即R是否属于R.由排中律，问题的答案只有两种可能性：R∈R或RR.
若R是第一类集合，即R∈R，但由式(1)可知R中的任何元素都具有性质“AA”，由假设知，R是R中的元素，故它也具有“AA”的性质，即RR.
若R是第二类集合，即RR，但由式(1)，一切具有性质“AA”的集合都属于R，又由假设知R具有性质“RR”，故R∈R.
可见，不论哪一种情况，R∈R和RR都应同时成立，也就是说都出现矛盾.这就是著名的罗素悖论.