线性支出系统Linear Expenditure System

英国经济学家约翰·斯通于1954 年提出的一种需求系统，实际中广泛用于对需求作系统研究， 是目前进行消费结构分析和预测方面较为适用的经济计量方法。线性支出系统的具体数学模型为：P_iX_i＝P_iX⁰_i+α_i(C-P_jX⁰_j)(i=1,2,3，…，n)。其中，P_i 表示第i 种商品的价格；X_i 表示对第i 种商品的需求量；X⁰_i表示对第i 种商品的基本需求量；P_iX⁰_i表示对第i 种商品的消费支出；P_iX_i表示对第i 种商品的基本需求支出；α_i表示边际预算份额，即在可任意支配的预算支出额中用于购买第i种商品的份额；C 表示总消费支出，C-P_jX⁰_j表示可任意支配的预算支出部分；X⁰_i和α_i是待估计的参数。该系统将人们对各种商品（服务）的需求分为基本需求和超出基本需求之外的需求两部分， 其中基本需求与收入水平和预算支出无关， 居民在基本需求得到满足之后， 才将剩余的消费能力按照某种边际预算倾向安排各种非基本需求支出。另外， 在研究居民消费结构的影响因素时， 该系统不仅考虑了预算支出的物价因素， 而且考虑到各项消费支出之间的相互联系、相互制约关系。该系统不仅可以用于居民的基本需求分析、边际预算倾向分析、需求支出弹性分析， 且在缺乏价格资料的情况下， 仍可以进行需求的价格弹性分析。

线性支出系统LES(Linear Expenditure System)

在S·R·斯通 (Sir Richard Stone) 的开创性工作之前，计量经济学家对消费者需求——支出关系进行经验研究时，很少涉及到理论经济学家对消费者最优选择行为的分析，二者缺乏沟通。斯通的线性支出系统模型是较早将理论分析与经验研究完美结合的典范，它的计量模型有很好的理论根据。
L·R·克莱因 (L. R. Klein) 和H·鲁宾(H. Rubin) 于1947年提出了如下形式的效用函数：

其定义域是q_i>γ_i>0,i=1,2，……，n。q_i是商品i的实际需求量；γ_i可解释为维持生活的基本需求量；α_i为加权参数，满足1。(L. R. Klein and H. Rubin,A ConstantUtility Index of Cost of Living,Review of Economic Studies,vol. 18(1949-50),pp. 65-66.)
1954年斯通假定消费者以 (1) 式为效用最大化目标，在支出预算约束：

其中p_i代表商品价格。下求得LES需求支出函数：

i=1,2，……，n,V是总支出。(参见R.Stone,Linear Expenditure System and Demand Analysis: An Application to the Pattern of British Demand,Economic Journal,vol.64(1954),pp. 511-527)
(3) 式表明，LES模型有明确的经济解释：消费者对商品i的需求支出额可分为两部分之和，第一部分为该商品的基本需求支出p_iγ_i；第二部分是总预算支出V减去对所有商品的基本需求支出后剩余部分中用于商品i的部分，其份额是α_i。V、p_i为外生变量，q_i为内生变量，α_i、γ_i为待估计的参数。LES假定基本需求支出不随预算V的变化而变化，边际预算份额α_i对所研究的消费者都相同，也与V的变化无关。
由 (3) 式得需求函数

商品i的总支出弹性为：

其中V_i＝p_iq_i。自价格弹性为

互价格弹性为

其中j=1,2，…，n,j≠i，且满足需求函数应有的性质：

若以价值量为需求单位，由(3)式可得需求的总支出弹性为：

自价格弹性为

互价格弹性为

其中j=1,2，…，n,j≠i，但有下式成立：

LES模型有一个理论逻辑不足：即假定总支出V为外生，这是不妥的，消费者通常的行为不是先确定总支出再购买商品，即总支出决定商品购买，而是购买决定了总支出。
1973年陆驰 (Liuch) 用收入I替代LES模型中的V，提出了扩展线性支出系统 (ELES:Extended Linear Expenditure System)的需求函数：

i=1,2，…，n，参数β_i是边际消费倾向而非边际预算份额，满足：

为边际储蓄倾向。
不再是外生变量，而由消费者购买行为内生地确定。
ELES(或LES) 的估计方法。
ELES模型中需要估计的参数有β_i和p_iγ_i(i =1,2，…，n，如果知道价格，可求商品的基本需求量，因商品类的价格不易得到，常以价值量为需求单位)，它们是非线性的待估参数。参数估计方法有很多，比较简单、使用的方法有最小二乘法和迭代法。
最小二乘法 将模型(5)写为计量形式：

u_i为随机扰动项。对(6)式应用最小二乘法(对于截面样本数据，可能存在异方差性，宜用加权最小二乘法WLS)，得到参数估计值_i和_i(i=1,2，…，n)。因为

再由_i和_i(i=1,2，…，n)可求得_ii的估计值。如果是截面样本数据，商品类的价格不随收入的变化而变化，可求出基本需求量_i，但因价格不变而不能计算商品需求的价格弹性。
迭代法 迭代法是非线性参数计量估计的常用方法。将 (5) 式中的参数分开，模型变为两种形式，每一种形式只含一组待估参数且为线性形式，可用普通最小二乘法 (OLS)估计。利用在模型的两种形式之间相互迭代，直至参数估计值达到收敛。具体步骤如下：
设Y_i＝V_i-β_iI
X_i＝(-β_ip₁，…，-β_ip_i-1,(1-β_i)p_i
　-β_ip_i+1，…，-β_ip_i)
R=(γ₁,γ₂，…γ_n)′
U=(u₁,u₂，…，u_n)′样本回归模型可写成

Y=XR+U (6)

其中

Y=(Y₁,Y₂，…Y_n)′
X=(X₁,X₂，…X_n)′

再设

W_i＝V_i-p_iγ_i

则模型又可写为

W=Z·B+U(7)

其中

先给定β_i(或γ_i)的初始值β_i⁽⁰)(或γ_i⁽⁰)，利用OLS法由(6)式(或(7))可估计得到参数γ_i⁽¹)(或β_i⁽¹))，然后将它们代入W和Z(或X和Y)，利用(7)式(或(6))求得β_i(或γ_i)的估计值β_i⁽¹⁾)(或γ_i⁽¹⁾)，…反复迭代，直到两次迭代中得到的参数估计值满足收敛条件为止。迭代法要求商品类的价格p_i为已知。

线性支出系统linear expenditure system

形如n的消费者需求函数，其中p_i,x_i分别是第i种商品的价格和需求量，I是消费者收入，μ_i和β_i是参数且因为p_ix_i表示消费者花在第i种商品上的支出，这个方程式表明这种支出是价格和收入的线性函数，故称之为线性支出系统。
斯通(Stone,J.R.N.)在1954年首先用这个系统作英国的消费需求分析。由于它可看成由形如的效用函数经最大化而导出的需求函数，故从理论上较为合理，而且从实际上它可用标准的技术作参数估计，从而在实证研究中得到广泛应用。它的主要缺陷是需假设这n种商品的互价格弹性都为零，所以它还不是一个理想的实证需求函数形式。