球的体积

050 球的体积

中国古代称球为“立圆”或“丸”。《九章算术》少广章所载“开立圆术”，是根据球的体积V反求其直径d的方法。相当于给出公式。因而相当于给出球的体积公式。东汉张衡 (78—139)发现该公式不精确，并进行研究。他设想将球置于其外切正方体内，推算出外切正方体与球的体积比为8:5。可是这样求得的球体积误差更大。张衡虽未能得到更好的公式，但其研究方法却给后人以有益的启示。魏晋时期刘徽研究并纠正了张衡的错误。在张衡想法的基础上，提出了通过求“牟合方盖”的体积来计算球体积的想法。他在球的外切正方体内做两个与球等径且互垂的圆柱，使之与正方体内切贯穿，这两个圆柱的公交部分称之为“牟合方盖”。于是球便与牟合方盖内切。然后用水平截面截球与牟合方盖，算出其面积比为π:4，遂由他本人提出的原理(今称刘徽原理)得到V_球:V_牟＝π:4。显然，欲求V_球只须求得V_牟。刘徽力图求得V_牟，终未如愿。问题虽未彻底解决，但刘徽的正确思路为后世研究并解决球的体积问题奠定了基础。二百年后，祖冲之研究了“开立圆术”及张衡、刘徽的尝试。他与其子沿用了刘徽的整套思想，抓住了计算牟合方盖体积这个关键。但不是直接计算牟合方盖的体积，而是通过计算“方盖差”(正方体中除去其内切牟合方盖后所余的部分) 的体积来求牟合方盖的体积。祖氏父子为了方便，从正方体及其内切牟合方盖的八分之一入手进行计算，提出了“幂势既同，则积不容异”的原理(即祖暅原理)，求得其中d为球的直径。进而得到

这就是球体积的精确公式。由于当时取π=22/7，所以祖氏父子给出的公式为。中国古代数学家经过400余年的不懈努力，对于球的体积公式的论证终获成功。这是中国数学史上的大事。它说明中国古代数学不仅注重数学方法的应用，而且注重数学理论的论证。并表现出论证方法的独特性。