活动分析activity analysis

在生产可能性集合的结构分析的基础上，对生产过程进行研究称活动分析。
设Y为生产可能性集合，则y∈Y就是一个可行的生产计划。在活动分析中称y为一个（生产）活动或生产过程。对一个具有n种物品的经济，y中的负分量y_i<0表示第i种物品为（纯）生产要素，正分量y_j>0表示第j种物品为（纯）产出，如果y_k＝0则表示这个活动本质上与第k种物品无关。
在活动分析中通常设生产可能性集合Y满足如下假定。
(1)比例性：y∈Y和∀α≧0⇒αy∈Y。这意味着生产是规模报酬不变的，且各种物品是完全可分的。
(2)可加性：y∈Y和y′∈Y⇒y+y′∈Y，这意味着生产活动之间无交互影响。
(3)不能无中生有性：y≧0⇒yY，这意味着没有正的投入不能有正的产出。
如果在Y中存在m个活动a_i＝(a_il，…，a_in),i=1，…，m，使得Y中任何一个活动y都可写成则称这m个活动{a_i}为基础活动，λ_i为y的第i个基础活动的水平。在此情形，如把a_i作为第i列而构成一个n×m矩阵A，则称A为技术矩阵。这时，生产可能性集合Y可写成Y={y|Aλ=y,λ≧0}。
对y°∈Y，如果不存在y∈Y使得y≧y°且y≠y°，则称y°为Y中的一个优效过程，又称优效点。关于优效过程有如下的定理：y°是Y中的优效过程的必要且充分条件是存在一个正向量p=(p₁，…，p_n)，使得对所有y∈Y都有p·y°≧p·y。
当可能使用的生产要素有一定限制时，设_i为第i种物品的最大可能投入量，记＝(_l，…，_n)，则生产要素有限制的生产可能性集合为Y_F＝{y|Aλ=y,λ≧0,y+≧0}。对任何一个正向量p，如果线性规划问题：

maxp·y=max(pA)·λ
s.t.Aλ+y≧0

λ≧0

有解λ^*，则y^*＝Aλ^*是Y_F的一个优效过程。通过变动p，就可得到Y_F的优效过程的集合，人们在选择生产过程时，当然是在优效过程集合中选择符合其他标准的过程。