五种常用的直线系方程

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1．过两直线l₁和l₂交点的直线系方程为：

A₁x+B₁y+C₁+λ(A₂x+B₂y+C₂)=0(不含l₂)．

2．与直线y=kx+b平行的直线系方程：

y=kx+m(m≠b)．

3．过定点(x₀，y₀)的直线系方程：

y—y₀=k(x—x₀)及x=x₀．

4．与Ax+By+C=0平行的直线系设为

Ax+By+m=0(m≠C)．

5．与Ax+By+C=0垂直的直线系设为Bx—Ay+n=0．

例1 在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x—2y+1=0，∠A的平分线直线的方程为y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．

解 联立x—2y+1=0和y=0，

得A(—1，0)．

∵x轴是∠BAC的平分线，如下图所示．

∴B(1，2)关于x轴的对称点必在直线AC上，故AC的方程为y=—(x+1)．

又BC边上的高所在直线方程为：x—2y+1=0，∴k_BC=—2．

∴BC的方程为y—2=—2(x—1)．

点评 本题利用了对称关系(一个角的两边关于角平分线对称)．

例2 (1)已知直线：ax+3y+1=0与x+(a—2)y+a=0平行，求a的取值范围；

(2)已知直线：ax—y+2a=0与(2a1)x+ay+a=0互相垂直，求a的取值范围．

分析 含有字母参数问题，应分类讨论，达到分类讨论的训练目的

解 (1)当(a—2)≠0，a≠0时，

解得a=—1或a=3，但a=—1，使 ，舍a=—1，则a=3．

(2)由a(2a—1)—a=0，

解得：a=1，a=0．

当a=0时，两方程为x=0，y=0；

当a=1时，

两方程为：x—y+2=0与x+y+1=0，互相垂直，所以a=1，a=0为所求．

点评 在研究两条直线l₁∶A₁x+B₁y+C₁=0与l₂∶A₂x+B₂y+C₂=0的平行与垂直的关系时，有；l₁⊥l₂A₁A₂+B₁B₂=0．

例3 求函数 的最小值

令A(0，1)B(2，2)，P(x₀，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)使|PA|+|PB|有最小值．

如图所示，由于A、B在x轴同侧，故取A关于x轴的对称点A′(0，—1)．