棋盘上的麦粒Qipanshang de maili

这是一个古老的印度传说：舍罕王打算重赏国际象棋发明人、宰相西萨·班·达依尔，问他希望得到什么样的赏赐。这位聪明的大臣说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，第二格内给两粒，第三格内给四粒，以后每个小格内都比前一小格增加一倍，一直放满棋盘上的64个小格。陛下，请将这么多的麦粒赏给您的仆人吧。”国王满心欢喜，觉得这样的赏赐实在是微不足道的， 命令如数付给达依尔。但万万没想到，还没有数到第20格，一袋麦子已经空了， 而且一格一格增长得那样迅速， 国王这才发现自己上当了。
这位大臣所要的麦粒到底有多少呢？由于第一格是1粒，以后每格都是前一格的2倍，因此全部64格中的麦粒是
1+2+2²+2³+……+2⁶³
根据等比数列的求和公式， 它们的和是2⁶⁴-1=18446744073709551615 （粒）
如果1升的量器能容纳150 000粒小麦， 那么这些麦粒就有14 000 000亿升，至少等于全世界在2000年里生产的全部小麦，假如修建一座高4米、宽10米的仓库存放这些小麦，这座仓库就需要从地球修到太阳，再从太阳修回地球来！
这个问题实际表明的是当时对等比数列的研究，类似的问题曾以各种不同的形式出现在许多国家、不同时代的数学书中。略举数例如下：
这同样是一个古老的印度传说： 在世界中心贝拿勒斯(佛教圣地，在印度北部)的圣庙里安放着一个黄铜板，板上插着3根宝石针，梵天（印度教的主神）在创造世界时， 在其中一根针上从下到上串上了由大到小的64片金片，这就是梵塔，不论白天黑夜，都有一个僧侣按照梵天不渝的法则移动这些金片： 一次只能移一片，不论在哪根针上，小片永远在大片上面。当所有64片都从梵天所放的那根针上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中毁灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
不去管这荒诞的故事，我们按照其中的规则(每次一片、小在大上，把64片金片由梵塔移到另一根针上，需要移动多少次？不难发现，第1片只需1次，以后每片所需的次数是前一片的2倍，第64片需2⁶³次，全部移动次数为

1+2+2²+2³+……+2⁶³＝2⁶⁴-1=18446744073709551615

这与上一题是完全一致的。根据计算， 假如每秒移3次， 日夜不停，也需要将近2000亿年，而根据天文学家的推算， 太阳系的寿命总共也不会超过150亿年。
12世纪的印度数学家婆什迦罗在《丽罗瓦提》(参见“婆什迦罗”)中给出过一个简单一些的问题：“某人第一次给一个乞丐两个玛瑙贝壳（货币），并答应以后每天增加一倍， 一个月 (30天) 他将施舍多少？”
1202年，意大利数学家斐波那契在《算书》(参见“斐波那契”)中给出：“某人拿出一个银币，按照以下利率生利：五年后翻一番。试问：到100年的时候，由这一个银币可以得到多少银币？”
直到 1703年， 在俄国数学家马格尼茨基(Магницкий, Л.Ф, 1669—1739) 的 《算术》中还有类似的趣题：“某人以156卢布价格卖出一匹马，成交后买主忽然翻悔，说： ‘我上当了，你的马不值这个价钱。’于是卖主说：‘既然你嫌马太贵了，那就只买马掌钉吧，马就算白送你了。每个马掌要钉6个钉，所以总共有24个钉，第一个钉只卖1/4戈比(1卢布等于100戈比)，第二个钉卖半戈比，以后每个钉子的价格都是前一个的2倍，直到第24个钉。’买主听后暗想，钉子的价钱总共也花不了10卢布，还能白得一匹马，就欣然同意了，算帐时才发觉上了当。”按后一笔交易，您知道买主应该付出多少钱吗？