期权定价理论theory of option pricing

关于期权的价格即期权费的决定因素的理论。现代期权定价理论体系最早始于1900年法国数学家巴舍利耶(L.Bachelier,1900)的博士论文《投机理论》，在文章中他第一次将布朗运动用于描述股票价格变化过程，并推出一个股票买入期权的定价模型。但该模型所包含的两个非常不现实的假设条件，即允许股票价格为负和零利率，制约了它的进一步发展。直至60年代，斯普里克尔(Sprenkle,1961)、博内斯(Boness,1964)、萨缪尔森(Samuelson,1965)、卡苏夫(Kassouf,1969)等才又先后对期权定价问题重新进行了探讨，修正了巴舍利耶的一些假设，如假定股票价格服从对数正态分布，从而保证股票价格不为负，允许利率大于零等。但这些模型中均包含某些未知参数，但基本思想都是用的“贴现法”，即都是将期权到期日的期望值贴现为现值，但同时却无法解决风险溢价的确定问题。
1973年是现代期权定价理论取得突破性进展的一年，当时任美国芝加哥大学教授的布莱克(Black,1973)和麻省理工学院教授斯科尔斯(Scholes,1973)发表了题为“期权和公司债务定价”的经典性文章。他们对风险溢价问题作出了一个令人满意的解释，即对期权定价根本无需考虑风险溢价因素，因为它已被包含在股票价格当中。并且在完全市场、无套利等一系列假设条件下，应用连续交易保值技术，通过严密的数学推导和论证推出了后来被称为“布莱克-斯科尔斯模型”(以下简称B-S模型)的期权定价理论。这些假设包括：
❶短期无风险利率为已知的常数；
❷股票价格连续变动，呈随机游走态，且遵循几何布朗运动；
❸股票不支付股息，不分红；
❹期权为欧洲式期权，即只能在到期日执行；
❺无交易成本和税（完全市场假设）;
❻可按短期无风险利率进行任何数量的借贷；
❼允许卖空。在这些条件下，期权价格将只取决于股票价格、时间和股价变动方差或标准差。用W(x,t)代表期权价值，它是股票价格x和时间t的函数，经过一系列严密推导，他们得出期权价值W(x,t)应满足下列线性微分方程：

W₂＝rW-rxW₁-1/2V²x²W₁₁ (1)

其中W的下标表示偏微分，r为无风险利率，V为标准差，边界条件为：

W(x,t^*)=x-c,x≥c
＝0,x

(2)

其中t^*为到期日，c为执行价格(striking price)。
方程(1)适用于所有衍生证券的定价，只是对于不同的衍生证券，边界条件有所不同，这些边界条件确定了股票价格x和时间t的取值范围。在边界条件(2)的约束下，只有一个公式W(x,t)满足微分方程(1)，这一公式即为著名的B-S期权定价模型：

W(x,t)=xN(d₁)-ce^r(t-t*)N(d₂) (3)

其中：d₁＝[lnx/c+(r+1/2v²)(t-t^*)]/[v(t^*-t)^1/2]
d₂＝[lnx/c+1/2v²)(t-t^*)]/[v(t^*-t)^1/2]
N(d)为标准的累积正态密度函数
布莱克和斯科尔斯还同时推出卖出期权价值和买入期权价值的关系式u(x,t^*)=W(x,t)-x+ce^r(t-t*)，进而得出卖出期权的定价公式：

u(x,t)=-xN(-d₁)+ce^-rt*N(-d₂) (4)

可以看出，在B-S模型中，期权价格由五个可观测到的变量决定，它们是可直接观察到的股票价格x、无风险利率r、到期时间(t^*-t)、执行价格c以及可由历史数据测算得知的股价变动的标准差V。B-S模型的最大功绩也正在于此，正如莫顿(Merton)所指出的：“B-S模型是一个完整的一般均衡模型，模型各参数均可观察，从而使模型可直接进行实证检验。”值得一提的是，布莱克和斯科尔斯在1973年做这篇论文时，受到过莫顿的很大影响，莫顿提出了许多改进他们的论文的建议。因此，也许把该模型称作“布莱克-莫顿-斯科尔斯模型”更为恰当。也正因如此，莫顿与斯科尔斯获得了1997年度的诺贝尔经济学奖。
此后的期权定价理论的发展均是在B-S模型基础上，放松其某些假定作出的修正、扩展和检验。如莫顿(1973)的理性期权定价理论即是放松了其中
❷、
❸、
❹条假设条件，从而极大地扩大了模型的实用范围；斯科尔斯本人也在1976年考虑了税的影响；考克斯(Cox)、罗斯(Ross)、鲁宾斯坦(Rubinstein)及罗尔(Roll)等人对模型的扩展也作出了较大贡献，进一步丰富和完善了期权定价理论。