期权定价模型option pricing model

布莱克和斯科尔斯(Black,Scholes,1973)最先给出欧式认购期权均衡价格的公式，从此之后发展了各种各样期权和衍生证券的定价模型。以欧式认购期权为例，它是一份合约，其中规定对一种指定的资产、指定一个价格X，及一个期权终止时间T。此合约的买方（持有此合约者）有权在时间T以合约事先规定好的价格X购买指定的资产，而合约的卖方（又称写者）有义务以X出售资产。显然，仅当资产在T时的价格S_T>X时，买方才会行使权利，当S_T≤X时，他就放弃此种权利。因此，对买方而言，期权在T时的价值为max(S_T-X,0)。期权定价问题就是研究在合约开始时刻，为获得这个权利“合理的”价格是多少？ 布莱克和斯科尔斯假设资产价格遵从下述随机微分方程

dS=αSdt+σSdω

用F(S,t)记欧式认购期权在t时刻的价值，dω记标准维纳(Wiener)过程的微分，可推出F(S,t)应该服从下述偏微分方程

和边界条件F(S_T,T)=max(S_T-X,0)，其中r是无风险利率。称(1)为布莱克—斯科尔斯期权定价方程。满足(1)和边界条件的解为

F(S,t)=SN(d₁)-Xe^-r(T-t)N(d₂) (2)

其中

在利用(2)式计算期权价格时，S是t时刻的股票价格，X是合同规定的执行价格，T是终止时刻，r是无风险利率，这些都是公共知道的。惟一不知道的参数是σ，这可以利用此种股票的价格历史资料和其他方法估计出来。