最小公倍数zuixiao gongbeishu

设a₁,a₂，…，a_n(n≥2)是n个整数，若整数m是这些数中每一个的倍数，则称m为a₁,a₂，…，an的一个公倍数.整数a₁,a₂，…a_n的所有公倍数中的最小正数，叫做这n个整数的最小公倍数，记作[a₁,a₂，…，a_n].例如[15,21,35]=105,[4,-16]=16.若a₁,a₂，…，a_n全不为零，则这n个数乘积的绝对值，就是它们的一个正的公倍数，由此可知，全不为零的n个整数的最小公倍数一定存在.
最小公倍数有下列性质(设a,b,m是任意三个正整数):❶a,b的每个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数；
❷[am,bm]=[a,b]m;
❸[a,b] =ab/(a,b);
❹设a=p₁^α₁p₂^α₂…p_k^α_k,α_i≥0 (i=1,2，…，k),b=p₁^β₁p₂^β₂…p_k^β_k,β_i≥0 (i=1,2，…，k)，则[a,b]=p₁^δ₁p₂^δ₂…p_kδ_k，其中δ_i＝max (α_i,β_i),i=1,2，…，k.max (α_i,β_i)表示α_i,β_i中较大的一个.

最小公倍数Zuixiao gongbeishu

几个自然数的公倍数中，除0以外，最小的一个，叫做这n个自然数的最小公倍数。a₁,a₂，……，a_n的最小公倍数记作[a₁,a₂, ……，a_n]。例如，4和6的最小公倍数是12，记作[4,6] =12; 3, 6, 9的最小公倍数是18，记作[3, 6, 9] =18。
最小公倍数有下列主要性质：
❶两个自然数的任意一个公倍数都是它们的最小公倍数的倍数。也就是说： 如果〔a, b〕 =m，而n是a和b的任意一个公倍数， 那么m|n。
❷两个自然数的最小公倍数与最大公约数的积等于这两个自然数的积。也就是说：〔a, b〕 ·(a, b) =ab。
如果两个自然数互质， 那么它们的最小公倍数就是这两个数的积。
求几个自然数的最小公倍数， 一般有以下两种方法：
❶分解质因数法：先把这几个数分别分解质因数，然后把各分解式中出现的所有不同质因数的最高次幂全部连乘起来， 所得的积就是它们的最小公倍数。例如， 求 [12, 30, 63]。

12=2²×3,30=2×3×5,
63=3²×7

12、30和63这三个数的分解式中的所有不同的质因数是2、3、5、7，出现的2的最高次幂是2²,3的最高次幂是3², 5和7的最高次幂就是5和7, 所以[12, 30, 63]=2²×3²×5×7=1 260。
在实际计算中，通常用短除法来计算，把几个数的一切公有的质因数和其中某几个数公有的质因数以及每个数独有的质因数的积全部连乘起来， 所得的积就是它们的最小公倍数。在上例中， 可进行如下：

其中3是三个数公有的质因数， 2是两个数公有的质因数， 每个数独有的质因数之积是2×5×21
[12, 30, 63] =3×2×2×5×21=1 260。

❷利用最大公约数求最小公倍数： 因为 [a, b](a, b) =ab, 所以
[a, b] =ab÷ (a,b)。
也就是说，求两个数的最小公倍数，可以先求出它们的最大公约数， 然后用这两个数的积除以它们的最大公约数， 所得的商就是这两个数的最小公倍数。
例如， 求 [221, 143]。用辗转相除法， 可求得(221, 143) =13, 所以 [221, 143] =221×143÷13=2431。

最小公倍数

least common multiple(LCM)