最优控制理论Optimal Control Theory

现代控制理论的一个主要分支。着重于研究使控制系统性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。是现代控制理论的重要组成部分，也是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，被广泛应用于经济学领域中。中国科学家钱学森1954年所著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。

最优控制理论optimal control theory

研究如何选择控制变量，从而求出一条使某目标值为最大（或最小）的轨道的理论。考虑用导弹截击飞机的问题。导弹在时刻t的位置由坐标x(t)决定，现要求一“最优”轨道x(t)使某指标（例如导弹击中飞机的时间）达到最小或最大。而轨道x(t)又受控于某些变量u(t)(例如在时刻t的燃料消耗、冲刺方向与地平面的夹角等)。这里称x(t)为状态变量，u(t)为控制变量。设u(t)可以在某一函数集合U中选择，问题将是从U中选择一个u(t)，从而决定x(t)，使该指标达到最大或最小。这类控制问题可表示为：

s.t. x′(t)=g(x(t),u(t),t)
x(t₀)=x₀,u(t)∈U

最优控制理论不仅在工程学上，而且在经济学上均有广泛应用。例如，设在时刻t资本存量为K (t)时产出为F(K(t))，而此产出有三种用途：消费C(t)，资本维修bK(t)及再投资K′(t)，即F(K)=C+bK+K′。设u(C)是消费为C时的效用，则最优控制问题

s.t.K′(t)=F(K(t))-C(t)-bK(t)
K(0)=K₀,K(t)≥0,C(t)≥0

就是从连续函数集合U中选择控制变量C(t)，从而定出状态变量K(t)使在[0,t₁]上的贴现总消费效用这个指标达到最大。
最优控制理论的研究由庞德里亚金(Pontryagin)等人在50年代开创。他们证明：如果u(t),x(t)是问题(1)的解，则一定存在非零函数λ(t)使得：

其中H(x(t),u(t),λ(t),t)=f(x(t),u(t),t)+λ(t)g(x(t),u(t),t)称为哈密尔顿(Hamilton)函数；
(ⅱH((t),u(t),λ(t),t)≥H((t),u(t),λ(t),t),∀ u∈U
即在任何时刻u(t)最大化H;

(ⅲ) x(t₀)=x₀,λ(t₁)=0

由于(ⅱ)表明H被û(t)最大化，故以上必要条件又称为庞德里亚金最大值原理。