数理逻辑shù lǐ luó ji用数学方法研究推理、计算等逻辑问题的学科。也称符号逻辑。1920年《新青年》第8卷第2号张崧年《罗素》：“罗素(Bertrand Russell)是现代世界至极伟大的数理哲学家，是于近世在科学思想的发展上开一新时期的一种最高妙的新学(即数理逻辑，也称记号逻辑或逻辑斯谛科Logistic)很有创发而且集大成的。”1946年钱钟书《围城》三：“柏格森的敌人罗素肯敷衍中国人，请他喝过一次茶，他从此研究数理逻辑。” 数理逻辑 数理逻辑shuli luoji应用数学方法研究逻辑问题，同时又应用逻辑的成果研究数学的基础和方法的边缘性科学，即现代形式逻辑，亦称符号逻辑。关于数理逻辑的性质和范围，有狭义和广义的理解。狭义的数理逻辑是指用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础（如无穷问题）的学科；广义的数理逻辑则包括一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论。数理逻辑包括5个部分，即逻辑演算、集合论、证明论、模型论和递归论。第一部分是严格意义下的数理逻辑；后4个部分属于广义的数理逻辑。 ☚ 印度逻辑 非经典逻辑 ☛ 数理逻辑又称“符号逻辑”、“数学逻辑”。运用严格定义的人工符号语言研究推理，特别是研究数学中的推理的科学。基础部分是命题逻辑和谓词逻辑；通常认为包括集合论、模型论、递归论和证明论四个分支。
数理逻辑见“逻辑学”中的“数理逻辑”。
数理逻辑数理逻辑 数理逻辑用数学方法研究和表述逻辑的科学，也称符号逻辑。萌芽于十七世纪后期，唯理论哲学家莱布尼兹首先提出数理逻辑的指导思想。十九世纪中叶，英国学者布尔和德摩根研究了逻辑代数和关系逻辑，推动了这一学科的发展。数理逻辑是一门边缘性学科，它同逻辑学、数学、计算机科学、语言学、哲学都有联系。一般认为，数理逻辑包含了公理集合论、证明论、递归论、模型论和逻辑演算5个部分。公理集合论主要利用公理化的方法对集合论加以研究，证明论主要研究数学证明的理论； 递归论着重研究可计算性理论、算法的精确定义及可证明性与可计算性之间的关系等问题；模型论则研究形式系统中“真”的概念的可定义性及形式系统和数学模型之间的关系； 逻辑演算主要研究逻辑在计算机科学中的应用及逻辑与计算机运算之间的关系。 ☚ 塞·迪密尔 数理社会学 ☛ 数理逻辑 数理逻辑又称符号逻辑、数学逻辑、理论逻辑、逻辑斯蒂。指用数学方法研究逻辑问题，特别是研究数学中逻辑问题的科学。
数理逻辑使用了特定的人工语言即一套表意符号刻划逻辑概念和形式，使每一由符号按一定规则组成的表达式与它所表达的意义之间有完全的对应，而不致产生任何歧义。数理逻辑采用了完全形式化的方法，它只研究符号序列的变换规则和变换方法，而不涉及符号的意义，通过对前提和结论的逻辑形式的变换关系的研究，把推理转化为一种类似于数学的演算。数理逻辑对于所推导出来的形式定理，给出一定的解释规则，使其具有意义并与客观事物相联系。
数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑，集合论、模型论、递归论和证明论是它的四大分支学科。
数理逻辑的产生和发展主要由于两方面的原因：其一是传统逻辑有不足之处，不能满足科学发展的需要；其二是对数学基础的研究，产生了大量的与逻辑相关的问题。
传统逻辑所讨论的命题仅限于主宾式语句，所讨论的推理仅限于三段论，并且没有对量词作专门的研究。这种状况既不能适应日常思维的需要，因为日常的语句并不限于主宾式结构，推理并不限于三段论的形式；更不能适应近代数学的需要，因为在高等数学中到处充满了含有量词的命题和有关量词的推导。数理逻辑的创始人莱布尼茨G.Leibniz1646—1716希望能够建立一个“普遍的符号语言”，借以消除现存语言的局限性、歧义性和不规则性。这种语言的符号应该是表意的，而不是拼音的，每一符号表达一个概念，如同数学的符号一样。他又认为，一个完善的符号语言同时应该是一个“思维的演算”，根据这种演算，思维和推理可以用计算来代替。他关于表意的符号语言和思维的演算的重要思想，构成了数理逻辑的两个指导原则。乔治·布尔(George Boole1815—1864)于1847年发表了《逻辑的数学分析，论演绎推理演算》，1854年又出版了《思维法则的探讨，作为逻辑与概率的数学理论的基础》，正式提出改革传统逻辑的主张，并着手建立一种新逻辑。他的主要成果就是现在名之为布尔代数理论的一部分，即集合代数和命题代数。这种新逻辑很容易处理传统逻辑极难处理的问题，初步实现了思维演算的目的。
弗雷格(Gottlob Frege 1848—1925)在1879年出版的《概念语言》一书中首次把数学中的函数概念引入于逻辑演算，建立了量词的理论，定义了约束变元的概念，构造了一个初步自足的逻辑演算系统。这是历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统。这个系统由三个基本概念(蕴涵、否定和全称量词)、九条公理和二个变形规则所组成。由于他的工作，数理逻辑的基础部分接近完成。略后一些，皮尔斯(C.S.Peirce 1839—1914)于1885年独立地引进了量词这个名称，以及∑x（存在量词）和Ⅱx（全称量词）这两个符合，这个名称及符号沿用至今。1894年，皮亚诺(Giuseppe Peano 1858—1932)在《数学公式》一书中发明了一套表意语言，其符号简单清晰，并用这种语言分析和推导了大量的数学命题，说明这种语言对于表达数学思维和内容是足够而可行的。
1910年，罗素(B.Russell 1872—1970)和怀特海(A.N.Whitehead 1861—1947)合作写完了三卷本的《数学原理》，标志着数理逻辑基础部分的基本完成。这部著作总结了当时数理逻辑的全部研究成果，建立了一个完全的命题演算和谓词演算系统，发展并给出了一个完全的关系逻辑和抽象的关系理论。1930年，哥德尔(kurt Godel)1906—1978证明了一阶谓词演算的完全性定理：在一阶谓词演算中，任一公式A，或者A是可证的，或者非A是可满足的，亦即一阶谓词演算中的每一个普遍有效式都是可证的。至此，数理逻辑的基础部分(命题逻辑和谓词逻辑，得以最后完成)。
数学基础方面问题的产生，成为数理逻辑发展的另一源流。非欧几何的出现，迫使人们探讨理论体系的相容性（即不矛盾性）问题。开始，非欧几何的相容性被归结为欧氏几何的相容性。接着，欧氏几何的相容性又被归结为实数论上的相容性。最后，实数论上的相容性被归结为集合论的相容性问题。同时，关于微积分学基础的争论最后也被归结为集合论的相容性问题。因此，人们希望在集合论的基础上，构造全部数学理论。但是，正是在需要证明集合论的相容性时，罗素于1902年发现了集合论悖论，表明集合论本身是含有矛盾的。
为了保全数学的成果，必须对悖论的实质子以研究，必须给数学奠定严格的理论基础。在如何解决悖论的问题上，产生了三个不同的学派：以希尔伯特(David Hilbert 1862—1943)为代表的形式主义学派；以罗素为代表的逻辑主义学派；以布劳维尔(L.E.Brouwer 1881—1966)为代表的直觉主义学派。对数学基础的深入研究，产生了数理逻辑的四大分支学科：证明论、递归论、模型论、公理集合论。
证明论是证明数学各部分或一些公理系统的协调性的理论，它把一门数学理论的公理及其推理规则全部公理化，写成符号体系，舍弃其内容，将数学上的推导转换为不再依靠空间关系和直觉的纯粹机械的变形。然后，用有穷方法证明这个符号体系的协调性，即证明在这个符号体系中不可能推出“0≠0”这一式子。在证明论的推动下，1936年人们证明了不加限制的自然数论是相容的。
对能行可判定、能行可计算的问题的研究，导致递归论的产生。能行的方法是一种机械的方法，它要求一个证明或计算中的每一步都是由某个事先给定的规则明确规定了的，并且能够在有穷步内结束该证明或计算。递归论的主要内容包括原始递归函数、一般递归函数、部分递归函数、递归可枚举性、判定问题、递归不可解性理论、α递归论、谱系理论等。递归论证明了可计算函数正好就是一般递归函数，由此出现了递归函数和抽象计算机这两方面的系统研究的平行发展。
模型论是研究形式系统与其解释之间的关系的学科。对于一个形式系统，它的一个解释就是它的一个模型。模型论与泛代数学关系密切。以模型或结构为对象，研究其同态、子模型（子结构）、自由结构和直积等的学科叫泛代数学。当在泛代数学中用来刻划模型或结构的各种性质的语言是形式语言，并引用数理逻辑的成果时，所得到的就是模型论。经典模型论获得了三个重要成果：勒文海姆(Lowenheim)定理；紧致性定理；莫利(Morley)范畴性定理。60年代鲁滨逊(A. Robinson)建立的非标准分析是现代模型论的一大成果。
把集合论公理化，建立公理集合论，是为了克服集中论中所发现的悖论而提出的一种主张。第一个集合论公理系统是策梅罗(E. Zermelo 1871—1953)于1908年提出来的。本世纪20年代弗兰克尔(A.A.Fraenkel)和斯科伦(T. Skolem)对策梅罗的原来的七条公理作了若干改进，成为一个新的集合论公理系统，被称为ZF系统(策梅罗—弗兰克尔系统)。ZF系统加上选择公理，被称为ZFC系统。ZF系统包括8条公理。已经证明这个系统对于发展集合论是足够的，并且从它推不出任何一个已知的悖论。康托尔(G. Cantor 1724—1804)于1874年提出了著名的连续统假设，猜想实数（或一条直线上的点）的个数是自然数（或非负整数）的个数之后的第一个无穷数。虽然连续统假设问题至今尚未能解决，但哥德尔证明了如果ZF系统（包括选择公理在内）是协调的，那么在该系统中增加连续统假设仍然是协调的，即在ZF系统中连续统假设是不可否证的。科恩(W.Quine)于1963年证明了连续统假设与ZF系统的独立性，即在ZF系统中连续统假设也不能被证明。科恩还创立了力迫法，这个方法是构造外模型的方法，使人们解决了很重要的协调性问题。
20世纪40年代以来，数理逻辑在开关线路、自动化系统和计算机设计等技术部门中获得了应用。60年代以来，运用数理逻辑的方法研究数学定理的机械化证明，也逐步为人们所注意，并取得了很大的进展。数理逻辑所揭示的数学中的思维规律、思维技术和方法，对于计算机科学以及其它许多科学部门都具有很重要的意义。运用数学符号描述、表达特定的思维过程，然后用电子元件物质地实现这一过程，这不仅是数学、逻辑而且是哲学、心理学等学科共同关心和探讨的一个问题。 ☚ 哥德尔 逻辑主义 ☛ 数理逻辑mathematical logic |