数列的极限shulie de jixian

是描述当n无限变大时数列{a_n}的变化趋势的重要概念.
对于数列{a_n}，如果存在常数a，使得当n无限增大时a_n能无限地接近a，就说a是数列{a_n}的极限.例如，数列的极限为0；数列的极限为1；常数列{2}的极限为2；数列{(-1)ⁿ}不存在极限。
严格地说，设{a_n}是一个数列，a是一个常数，如果对于任意给定的正数ε，都存在某一个自然数N，使得当n>N时，总有

|a_n -a|<ε

则称数列 {a_n} 存在极限，且极限为a，或称数列{a_n} 收敛于a, 并记作或a n→a (n→∞)。
若数列 {a_n} 不存在极限，则称数列 {a_n} 发散。数列 {a_n}以a为极限的直观说法是，对于任意给定的一个小正数ε，要使|a_n-a|小于这个ε，只要n.充分大以后就能实现。
数列{a_n}以常数a为极限的几何意义是，对于点a的任何一个ε邻域(a-ε,a+ε)，总有某个序号N，使数列 (a_n}在a_N以后的所有的点a_N+1,a_N+2，…都落在这个邻域内，而至多只有N个点a₁,a₂，…，a_N落在这个邻域以外 （见下图）。