总值、平均值与边际值的关系total,average,marginal relationship

这个关系在最佳化分析中很有用。边际值(marginal)可定义为某函数中的因变量随着一个自变量的单位变化而来的变化。由于最佳化过程实质上就包含对变化的分析，边际概念极其重要。一般地说，我们分析一个具体的目标函数，为自变量求出一组能使目标函数最佳化的数值，是通过改变不同的自变量去看这些变化对因变量有什么影响，即研究自变量的变动对因变量的边际影响。
可从下面一个假设的利润函数的总值、平均值与边际值数字关系以及其图示中考察一下它们之间的关系：
总值与边际值的关系在决策分析中的重要性首先在于：当边际值为正值时，总值在增加；当边际值为负值时，总值在减少。由此可见，总利润函数（或其他任何总值函数）值的最大化出现在边际关系从正转变为负的那一点上。平均值与边际值的关系在某些决策分析中也很重要。由于边际值表示总值的变化，当边际值大于平均值时，平均值必然在增加；当边际值小于平均值时，平均值在减少。
正如表中的总值、边际值与平均值之间存在着算术关系，图中也存在有相应的几何关系。总值曲线任何一点上的平均值可用原点到该点的直线的斜率表示。总值曲线的任何一点上的边际值则可用该点上与总值曲线相切的那条切线的斜率表示。总利润曲线的斜率从原点到C点在上升，即与总值曲线相切的切线随切点接近C而变得更陡，边际利润直到C点都在增加。这用图(b)也可说明，在那里边际利润曲线上升直到产量为Q₁，与总曲线上的C点相应为止。在拐点C点上总利润斜率最大，故边际利润在该点也最大。在C点与E点之间，由于边际利润（虽在减少）仍为正，总利润继续增加。在E点上总利润曲线的切线的斜率为零，故它既不增也不减；该点的边际利润为零，总利润最大。过了E点(图(a)产量为Q₃)，总利润曲线出现负斜率，边际利润也成了负值。边际值与平均值的关系同样在图(b)可得到说明。

产品数量 Q (1)	总利润 πa (2)	边际利润 △π1 (3)	平均利润 (4)
0 1 2 3 4 5 6 7 8	0美元 19 52 93 136 175 210 217 208	0美元 19 33 41 43 39 35 7 -9	— 19美元 26 31 34 35 35 31 26

注：a 希腊字母π在经济与企业管理文献中经常用来表示利润。
b 符号△(delta)指差异或变化。这样，边际利润(△π)=πQ-πQ_-1
c 平均利润()等于总利润(π)除以总产量(Q)所得之商：＝π÷Q

总值、边际值与平均值三者关系的几何图：(a)总值（即总利润）曲线；(b)边际值（即边际利润）曲线与平均值（即平均利润）曲线。
总之，我们利用总值、边际值与平均值之间的算术关系与几何关系方面的知识，可以为管理决策提供有用的信息。