归除法Guichufa

在珠算里，对于除数是多位数的除法，利用九归口诀估商进行计算的方法，叫做归除。除数一位时的九归与除数多位时的归除，统称归除法。
使用归除计算多位数除法，其运算过程分为“归”与“除”两步。首先用除数的最高位数去除被除数的最高位数，用九归口诀得出试商，这就是“归”。其次，在得出试商后， 再用试商同除数的第二位数及以后各位数逐一相乘， 把乘积依次从被除数中减去， 这就是“除”。例如，除数是37时，就是 “三归7除”，除数是589时，就是“五归89除”。运用这种算法的关键是掌握置数位置和减积档次的规律。
在上述方法中，如果用九归口诀得出的试商偏大，在“除”的一步就会不够减，此时就需要使用通过下面的 “退商口诀” (又称 “起一口诀) 将这一位商减小：
一归： 无除退一下还一 （起一下还一）;
二归： 无除退一下还二 （起一下还二）;
三归： 无除退一下还三 （起一下还三）;
四归： 无除退一下还四 （起一下还四）;
五归： 无除退一下还五 （起一下还五）;
六归： 无除退一下还六 （起一下还六）;
七归： 无除退一下还七 （起一下还七）;
八归： 无除退一下还八 （起一下还八）;
九归： 无除退一下还九（起一下还九）。
这些口诀中，每句的“无除”是指商数过大而不够减商数与除数第二位数以下各位的乘积。“退一”是指把商数减一； “下还几”是指把除数的最高位数加在下一档上。其末句“无除退一下还九”一般不会用到， 只有在该用撞归口诀 “见九无除作九九” 而错用了 “逢九进一” 的口诀时才会用到。
用除数的第一位数去除被除数的某一位数时， 如果这两位上的数恰好相同， 但是被除数的下一位数比除数的第二位数小， 就要用到下面的 “撞归口诀”：
一归： 见一无除作九一；
二归： 见二无除作九二；
三归： 见三无除作九三；
四归： 见四无除作九四；
五归： 见五无除作九五；
六归： 见六无除作九六；
七归： 见七无除作九七；
八归： 见八无除作九八；
九归： 见九无除作九九；
其中， “见几”是指除数的最高位与被除数的某一位同为“几”，“无除”是指被除数的下一位数比除数的第二位数小而在余数中不够减； “作九几”是指把被除数的本档数字改作商数9，把余数“几”加在下一档上。如果使用撞归口诀得出的商仍然太大。就要再用退商（起一）来调整。这种撞归后立即又用退商的情形通常称为“撞归起一”。
用归除计算多位数除法， 每求出一位商的步骤如下图所示。
根据元代各种数学书的记载， 筹算的归除法在当时已经基本定型， 此后珠算中的归除法， 只是计算工具由算筹改为算盘， 计算方法实质上是一致的。根据现有资料，最早记载珠算归除法并给出实际算例的，是明代吴敬的 《九章算法比类大全》(1450)。其后，明代王文素在《新集通证古今算学宝鉴》(1524)中对归除定商方法作了进一步研究。而在程大位的《算法统宗》(1592)中， 归除法的口诀(九归歌、归除歌、撞归法、起一还原法)、方法及其运用均已十分成熟了。