开方说

 右《开方说》三卷，吾师李四香先生所撰也。忆自庚午之冬，应南始从先生受算学，由《九章》兼及西法。甲戌之秋，以《开方说》见授，曰：“……爰著《开方说》三卷。上卷起例，发凡，胪列算式；中卷正负互易，平立代开，得数可定其大小，命分则齐以并差；下卷反覆推求，有义必搜，无法弗备，可谓尽开方之变矣。”上、中两卷早有成书，唯下卷止有条例，未立设问。丁丑之夏，先生病且革，因应南钻仰有日，特于易箦之际，再三属为补成。故下卷诸数皆谨遵先生遗命，依法推衍，非敢参以己见。并将先生平日论开方之语，识于简末，与海内明算者共深究焉。
 

《开方说》清·黎应南跋

 【评】李锐《开方说》的诞生标志着我国方程论的完成。此段转述李锐的话，概括了《开方说》的主要内容。

225 开方说

中国古典数学中方程论的重要著作之一。清李锐撰。3卷，其中下卷由其门生黎应南续成。该书在《衡斋算学》的基础上进一步研讨方程理论。卷上论述在有理数范围内高次方程正根个数与各项系数变号次数间的关系。其结论与笛卡儿(R. Descartes,1596—1650)符号法则完全一致。叙述了解数字高次方程的增乘开方法。指出有理系数高次方程虚根成对。后两卷的讨论实际是在实数范围内进行。卷中首先指出方程可以有负根。进而说明用增乘开方法求方程的负根与求正根原则上是一致的。在中国数学史上首次提出重根的概念。卷下补充不少命题，使古代方程论成为一门较完整的学科。作者的先进思想已接近代数基本定理的思想。

开方说

三卷。清李锐 (1768—1817)撰，黎应南补。李锐字尚之，号四香，江苏元和 （苏州）人。他早年习 《算法统宗》，便心通其义，遂为九章八线之学。嘉庆初获读秦九韶、李冶诸书，略加校勘注释。先为浙江学政、巡抚阮元之幕府，参与纂修《畴人传》四十六卷；后为扬州知府张敦仁幕宾，为之算校《缉古算经细草》、《求一算术》、《开方补记》、《通论》诸书。常与焦循、汪莱切磋算书而被称为 “谈天三友”。清罗士琳《续畴人传·李锐传》称： “尚之在嘉庆年间，与汪君孝婴（莱）、焦君里堂 （循）齐名，……惟尚之兼二子之长，不执不平，于实事中匪特求是，尤复求精，此所以较胜于二子也。”李锐著算书有：《勾股算术细草》一卷 (1806)，《弧矢算术细草》 一卷，《测圆海镜细草》十二卷，《方程新术草》一卷，《开方说》三卷。《开方说》下卷未成咯血而终，其徒黎应南续成之。《开方说》为李锐研究方程论的精心杰作，是在汪莱《衡斋算学》第五册、第七册基础上完成的。其卷上论述在有理数范围内方程正根的个数与各项系数符号变化次数之间的关系。李锐称正根为“可开”，无正根为“不可开”：“凡上负、下正可开一数”即系数变号一次有一正根。“上负、中正、下负可开二数”，“上负、次正、次负、下正可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正、下负可开四数或二数”。“其二数不可开是为无数。凡无数必两，无无一数者”。李锐这一研究结果与笛卡尔符号规则是相同的。卷上的其他部分较详尽地论述了解数字高次方程的增乘开方法。卷上李锐还举了大量的例子说明系数的变号与正根个数的关系。《开方说》下两卷将讨论的范围从有理数扩大到了实数。卷中一开头便说：“凡商数为正，今令之为负”，李锐在此打破了不承认方程负根的局限性，从而得出“凡平方皆可开二数，立方皆可开三数或一数，三乘方皆可开四数或二数”，无实根则不予讨论。在卷中他还特别注意到：“凡平方二数，以平方开一数，其一数可以除代开之。立方三数，以立方开一数，其二数可以平方代开一数，除代开一数。三乘方四数，以三乘方开一数，其三数可以立方代开一数，平方代开一数，除代开一数。”即解数字高次方程已得一实根后，原方程可降低一次，它的下一个实根可在新方程求得。在卷下补充了很多命题，在中算史上首次提出了方程有负根和重根问题，从而使方程论形成了一门比较完整的学科。关于正负根叙述如下： “凡开方有正商、负商者，以其实、方、廉、隅之正负隔一位易之，如法开之，则所得正商变为负商，负商变为正商。”重根的叙述是：“凡可开二数以上而各数俱等者，非无数也，以代开法入之可知。”并给出了有负根或无实根的二次方程例子。李锐《开方说》突破了古训之束缚，明确提出了方程的负根及重根问题，在中算方程理论史上占有重要地位。他的正确思想曾受到一些人怀疑，骆腾凤《开方释例》(1815)、顾观光《算剩余稿·开方余议》(1854)中提出了驳议，当然是不能成立的。《开方说》后收入《李氏遗书》中，其版本有：《知不足斋丛书》本、《白芙堂算学丛书》本，《古今算学丛书》本；《李氏遗书》曾在1823年、1889年、1890年三次重刊。