平面曲线的弧长pingmian quxian de huchang

设有平面曲线MN，如图所示. 在曲线MN上任取n—1个点：A₁ ,A₂，…，A_k-1 ,A_k，…，A_n-1. 令M=A₀,N=Aa .用线段连结相邻的两个点，得到弦，这是一条折线. 若当分点无限增加，且每一条弦的长度都趋于零时，折线长度存在极限，则称曲线MN可求长，其长为上述极限值.

❶若函数f (x)在区间 [a,b]上可导，且导数f' (x)连续，则在 [a,b]上的曲线y=f (x)可求长，且弧长为

例 求半径为R的圆的周长s,
解 方程x²+ y² = R²表示一个半径为R的圆. 由对称性知，要求该圆的周长，只需求该圆在第一象限部分的弧长，再四倍即可. 于是

所以

❷若曲线由参数方程 z=φ(t),y= ψ (t),(a≤f≤β)表示，且ψ' ′ (t),ψ' ′ (t)在 [α,β]上连续，则曲线可求长，且弧长为

❸若曲线由极坐标方程r=f (θ) (α≤θ≤β)表示，且f' ′ (θ)在 [α,β]上连续，则该曲线可求长，且弧长为