平面方程的各种形式pingmian fangcheng de gezhongxingshi

❶普遍式 任何平面可用x,y,z的一次方程ax+by+cz+d=0来表示，反之，x,y,z的一次方程ax+by+cz+d= 0，其中a,b,c是不同时为零的三个任意实数，一定表示一个平面. 这个结论称为平面的基本定理.三元方程ax+by+cz+d=0,a2+b2+c2≠0，称为平面方程的普遍式 （或一般式）. 在平面方程的普遍式中，如果常数项不是零，且缺某一个变数，则平面一定平行于该变数所对应的坐标轴； 如果缺某两个变数，则平面一定平行于该两个变数所对应的坐标面. 如果常数项是零，且缺某一个变数，则平面一定过该变数所对应的坐标轴； 如果缺某两个变数，则平面一定是这两个变数所对应的坐标面.

❷ 点法式 已知平面π，过原点和平面π垂直的直线叫做它的法线.法线有两个相反的方向，如果π不过原点，从原点向π作垂线，垂足记为D，射线OD的方向规定为法线的正方向. 如果π过原点，法线的正方向可由第三个方向角γ<90°规定； 如果γ=90°，即π过Z轴，则可由第二个方向角β<90°规定；如果β=γ=90°，即π与YZ面重合，则规定法线的正方向与X轴的正方向一致. 以原点为始点沿平面法线正方向所作的向量叫平面的法线向量. 凡与平面法线平行的非零向量叫平面的法向量.平面法向量的始点是任意的，它的方向与法线的正方向可以相同，也可以相反. 向量形式的平面方程的点法式是： m · (P—P₀) =0m≠0，式中m是平面π的一个法向量，P 0是平面π上的一个定点，P是π上的任意一点，P和P0是位置向量，m是自由向量，并且P₀和m是常向量，P则是流动向量. 设P 0 (x0,y0,z0),P (x,y,z),m= {a,b,c),a² +b²+c²≠0，则平面方程坐标形式的点法式为
a (x-x₀) +b (y-y₀) +c (z-z₀) =0a2+b²+c≠0.

❸ 三点式 设已给平面π上三个不共线的点P₁(x1,y1,z1),P2 (x2,y2,z2),P3 (x3,y3,z3)，则平面π的方程的三点式的坐标形式为
即

向量形式为

(P—P₁ ,P₂—P₁,P₃—P₁) =0

式中P= {x,y,z},P₁＝ {x₁,y₁,z₁},P₂＝ {x₁,y₂,z₂),P₃＝ {x₃,y₃,z₃}. 若四个点Pr (xr,yr,zr)(r=1,2,3,4) 中没有三点共线，则它们共面的充要条件是

❹ 截距式 过 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)三点的平面方程的坐标形式是x/a+y/b+z/c=1其中a≠0,b≠0,c≠0.这个方程称为坐标形式的平面方程的截距式，而a,b,c分别叫做平面在三个坐标轴上的截距.

❺ 参数式 已知定点P₀ (x₀,y₀,z₀)和过P₀的两个不共线的定向量a= {a₁ ,a₂ ,a₃}和b= {b₁,b₂,b₃}，则所定平面方程的向量形式是P=P0+ua+vb,-∞(-∞这两个方程分别叫做向量形式和坐标形式的平面方程的参数式，其中u,v叫做参数.如果已知三个不共线的点P₁ (x₁,y₁,z₁),P₂ (x₂,y₂,z₂),P₃ (x₃,y₃,z₃)，则所定平面方程的向量形式是(-∞<λ₁,λ₂,λ₃<+∞,λ₁+λ₂+λ₃＝1 )
坐标形式为

这两个方程仍分别叫做向量形式和坐标形式的平面方程的参数式。这里λ₁,λ₂,λ₃是参数。

❻ 法线式 已知平面的单位法线向量为N°={cosα,cosβ,cosγ)，从原点到平面的距离是p，则向量形式的平面方程的法线式是N°·P-p= 0。坐标形式的平面方程的法线式是xcosα+ycosβ+zcosγ-p= 0，这里cosα,cosβ,cosγ是法线向量的方向余弦。
平面方程的普遍式ax+by+cz+d=0 (a²+b²+c²≠0)的一次项系数a,6,c是这平面法线的一组方向数，叫做法式化因数。(ka，胁b,kc)是法线向量的方向余弦。用法式化因数k去乘平面方程的普遍式，就可以把平面方程化为法线式

法式化因数的符号应与d的正负号相反，即当d<0时，取ε=+1 ，当d> 0时，取ε=-1。