对数变换logarithmic transformation

指将数据作对数变换，即把X转为lgX或1g(X+K)。常用于正偏态数据转为正态、曲线直线化以及使某些资料能符合方差分析条件等。对数变换的方法是：当样本含量较小时，可直接将原变量值代换对数；当样本含量较多时，先查出最小值和最大值的对数，按一般频数表方法分组和制表，再将对数组段下限查出真数进行划记。负偏态资料可用1g(K—X),K>X，使之接近正态分布。

对数变换

以原数据的对数值作为统计分析的变量值，称对数变换。当原数据具有倍数的关系时，其对数值将具有差数的关系，后者便于进行统计分析。一般取常用对数变换：

x=lgX。(1)

M. S. Bartlett建议用式(2)作对数变换，尤其当原数据中有小值以及零值时较适用。

x=lg(X+1)。(2)

亦可根据需要选用下列变换式：

x=lg(X+K),(3)

或 x=lg(K-X),(4)

式中K为常数。
对数变换常用于：
❶当几个样本均数作比较时，若几个样本方差不齐，尤其是标准差与均数之比的比值接近时，须经对数变换以缩小各方差间的差别，达到方差齐性后才能进行t检验或方差分析。
❷有些原数据的对数值呈正态分布，称为对数正态分布，即用对数变换能使此类资料正态化。
❸在曲线拟合中，对数变换常是直线化的一种重要手段，如指数曲线、双曲线、logistic曲线的直线化等。
例 欲用t检验比较某河水丰水期和枯水期浅层水生化耗氧量(mg/L)的均数，资料见表。此数据能否直接用于t检验？若不能，试作适当变换。

对数变换计算表

生化耗氧量(mg/L),X		lg X+1
丰水期	枯水期	丰水期	枯水期
0.24 0.54 0.50 0.34 0.40 0.76 0.30 0.20	1.99 0.99 1.22 1.17 1.96 0.71 1.25 1.23	0.38021 0.73239 0.69897 0.53148 0.60206 0.88081 0.47712 0.30103	1.29885 0.99564 1.08636 1.06819 1.29226 0.85126 1.09691 1.08991
合计 3.28 均数 0.41 方差 0.0339	10.52 1.315 0.1978	4.60407 0.57551 0.03698	8.77938 1.09742 0.02150

先对原数据X作方差齐性检验。检验方法参见条目 “两个方差的齐性检验”，得F=0.1978/0.0339=5.835，查方差齐性检验用F界值表，P<0.05，按α=0.05水准，可认为两组方差不齐，不能直接用t检验。两样本的“标准差/均数”： 丰水期为，枯水期为，二者接近，可试用对数变换。对原数据作“lgX+1”变换后再作方差齐性检验，得F=0.03698/0.02150=1.72,P>0.05，按α=0.05水准，两组方差为齐性。可用变换值（见表右侧）作两样本均数比较的t检验。