多元线性相关

多元线性相关 是研究多个变量间的线性关系的一种统计分析方法。在简单的相关分析中，变量只有两个(X,Y)，相关系数只有一个。但在多元相关分析中变量有三个或更多，变量间的相关系数有以下三类：简单相关系数、偏相关系数及复相关系数。
简单相关系数 符号为r_ij，简记作r。它是说明两个变量(X_i,X_j)间相关程度和方向（不考虑其他变量的影响）的统计指标。其计算公式为

其值-1≤r_ij≤1。
偏相关系数 亦称部分相关系数。它是当其他变量固定时，说明某两个变量间相关程度和方向的统计指标。例如分析三个变量(X₁,X₂,X₃)间的关系时有三个偏相关系数r_12.3,r_13.2,r_23.1。r_12.3表示当X₃固定时X₁与X₂间的偏相关系数，r_13.2表示当X₂固定时X₁与X₃间的偏相关系数，余类推。分析四个变量(X₁,X₂,X₃,X₄)间的关系时有六个二级偏相关系数r_12.34,r_13.24,r_14.23,r_23.14,r_24.13及r_34.12。r_12.34表示当X₃、X₄固定时X₁与X₂间的偏相关系数，r_13.24表示当X₂、X₄固定时X₁与X₃间的偏相关系数，余类推。如果在四个变量中有一个应变量(Y)，三个自变量(X₁,X₂,X₃)，则应变量与自变量间有三个二级偏相关系数rY_1.23,rY_2.13,rY_3.12。
简单相关系数亦称零级相关系数，固定一个变量时其他两个变量间的偏相关系数称一级偏相关系数； 固定二个变量时其他两个变量间的偏相关系数称二级偏相关系数，余类推。和简单相关系数一样，偏相关系数可以是正值，也可以是负值，其绝对值在0与1之间。
一级偏相关系数的计算公式为

二级偏相关系数的计算公式为

偏相关系数的假设检验可按式(4)作t检验

式中r为偏相关系数，n为样本含量，m为自变量的个数。注意：对同一资料，检验偏相关系数时求得的t值与检验偏回归系数时求得的t值是相同的。
复相关系数 亦称多元相关系数或全相关系数。在多元线性相关分析中，应变量Y与各个自变量(X1,X2，…Xm)间的线性回归关系是否密切可以用复相关系数来说明。它记作R_Y·12…m，简记为R，计算公式为

应变量的离均差平方和lYY可分解为回归平方和SS_回及剩余平方和SS_剩两部分，即l_YY＝SS_回+SS_剩，故上式也可改写为

式中SS_剩＝∑(Y-Ŷ)²，说明各实测值Y与回归估计值Ŷ间的离差。SS剩越小，则R越大，说明各实测值与回归平面越近，应变量与自变量间的线性关系越密切。复相关系数取正值，0≤R≤1。复相关系数的平方R₂称决定系数。它说明应变量的变异中由各自变量的改变而引起的占多少，如R2=0.8，则说明应变量的变异中有80%由自变量的改变而引起。
复相关系数的假设检验可用方差分析。式中m为自变量的个数，n为样本含量。如果F≥Fα(v₁,v₂)，则按所取α水准，可认为此多元线性关系成立。注意：由式(7)求得的F值与多元回归方程的线性假设检验所求得的F值相同。
例： 分析某市9岁男孩肺活量(ml)Y，与身高(cm)X₁，体重(kg)X₂间的关系时，得各个变量的离均差平方和、离均差积和及回归平方和如下。试作多元相关分析。

(1)偏相关系数的计算及假设检验。令ρ为总体偏相关系数。

按式(1)求三个变量间的简单相关系数：

按式(2)求一级偏相关系数：

按式(4)作偏相关系数的t检验：

查t界值表，就t1而言，P<0.01，按α=0.05水准，拒绝H₀，接受H₁，可以认为当体重固定时，身高与肺活量间有正相关；就t2而言，P>0.5，按α=0.05水准，不拒绝H₀，即当身高固定时，不能认为体重与肺活量有相关关系。肺活量与体重的偏相关系数rY₂·₁远小于简单相关系数rY₂，这是因为身高与体重呈正相关(r₁₂＝0.8072)，在rY₂中夹杂有X₁对Y的影响，以致使rY₂不能真实地反映两者间的关系。因此偏相关系数比简单相关系数更能确切地说明变量间的相互关系。
(2)复相关系数的计算及假设检验。
H₀: 总体复相关系数为ρ=0。
H₁: ρ≠0。α=0.05。
按式(5)

意即儿童肺活量的变异有87.51%取决于其身高X₁及体重X₂的改变。按式(7)

查F界值表得P<0.01，按α=0.05水准拒绝H₀，接受H₁，可认为9岁儿童的肺活量与身高、体重间呈线性关系。