偏序集pianxuji
设A是一个集合,若在A内存在一个关系“≤”,它满足:
❶反身性 对于任何a∈A,有a≤a;
❷反对称性 对于a,b∈A,若a≤b,且b≤a,则a=b;
❸传递性 对于a,b,c∈A,若a≤b,b≤c,则a≤c.
则称“≤”是集合A的一个偏序关系,也称作半有序关系.
如果a≤b,就叫做a不在b的后面,或b不在a的前面.
在一个集合A内,如果建立了一个偏序关系≤,就称集合A对于关系≤成为一个偏序集,也称作半有序集.记作(A,≤).
由上述定义可知,偏序集就是一个集合A加上一个偏序关系≤.
例如,实数集R对于关系“≤”构成偏序集(R,≤).
再如,设I是一个全集,幂集P(I)对于关系“⊂”是一个偏序关系,(P(I),⊂)是一个偏序集.值得注意的是,当A,B⊂P(I),且A∩B=Φ时,A⊂B和B⊂A都不成立,但这不要紧,因为定义中不要求对于A中的任意两个元素a和b,a≤b或b≤a必有一个成立,这就是说,它只要求这种顺序关系≤在部分元素中成立.