倒数方程daoshu fangcheng

若一个一元n次方程

a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n＝0　(1)

的系数满足关系a_k＝a_n-k或a_k＝-a_n-k(k为非负整数，0≤k≤n/2)时，则方程(1)称作倒数方程.
显然，倒数方程的根不可能是零.
若a是倒数方程的根，则1/a也必定是这个倒数方程的根.例如，倒数方程4x⁴-9x³-26x²-9x+4=0的一个根是4，可以验证，1/4是方程的另一个根.倒数方程也正是由其根的这一性质而得名.
当a_k＝a_n-k时，方程(1)称为第一类型倒数方程.
对于n=2m的第一类型倒数方程，若作x+1/x=y的替换，则可将原方程化成一个关于y的m次方程，达到降次的目的.
例 解方程4x⁴-9x³-26x²-9x+4=0 (2)
解 把原方程变形为

4(x⁴+1)-9(x³+x)-26x²＝0

因 x≠0故用x²除方程两边得

令

于是原方程化为

解得

分别代回

解得

对于n=2m+1的第一类型倒数方程，方程总有一个根是-1.若用(x+1)除方程(1)，则可得出一个次数为2m的第一类型倒数方程.
例如，用综合除法可将方程

4x⁵-5x⁴-35x³-35x²-5x+4=0

化为

(x+1)(4x⁴-9x³-26x^2-9x+4)=0

由x+1=0 得x=-1.而方程

4x⁴-9x³-26x²-9x+4=0

正是形如前面解过的方程(2).
当a_k＝-a_n-k时，方程(1)称作第二类型倒数方程.
对于n=2m的第二类型倒数方程，方程总有一个根是1，另一个根是-1.
对于n=2m+1的第二类型倒数方程，方程总有一个根为1.