今有术

 今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。
 

汉《九章算术·粟米》

 【评】这是关于率的一种主要算法。若A∶B=a∶b,则B=Ab/a。后来贾宪、杨辉称之为互换乘除法。印度和欧洲称之为三率法。
 此都术也。凡九数以为篇名，可以广施诸率，所谓告往而知来，举一隅而三隅反者也。诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辩名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。
 

《九章算术·粟米》三国魏·刘徽注

 【评】刘徽指出“今有术”是普遍方法，九章中的问题，只要能找出其率关系，运用齐同原理都可归结到今有术。
 少者多之始，一者数之母，故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三，是粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟[原文讹作“粝”,依戴震校]当先本是一。一者谓以五约之，令五而为一也。讫，乃三乘之，令一而为三。如是则率至于一，以五为三矣。然先除后乘或有馀分，故术反之。又完言之知，粟五升为粝米三升；分言之知，粟一斗为粝米五分斗之三。
 

《九章算术·粟米》三国魏·刘徽注

 【评】这里刘徽指出如何求出率，进而说明今有术的正确性，并以整数运算和分数运算两种方式解释今有术。

031 今有术

在成比例的四数中，已知三数求第四数的算法。古代将比例中已知的三数分别称为：“所有率”、“所求率”、“所有数”。若所有率 (a):所求率 (b)=所有数 (c): 所求数 (x)，则x= bc/a。《九章算术》的粟米章中有世界上关于今有术的最早记载。刘徽又作精辟的阐发将一切比例分配问题的解法都归结为今有术的应用。7世纪时此法为印度人婆罗摩及多(Brahmagupta，约598—约665)所知，欧洲在13世纪才由意大利人斐波那契(Fibonacci. L，约1170—约1250)加以介绍，称之为“三数法则”、“三率法”、“黄金法则”。但迟至15世纪才将比例与三数法则联系起来。“今有术”之名称一直沿用至清代。19世纪末，由清吴嘉善述、丁取忠校的《白芙堂算学丛书》解释说：“所有率(a)、所求率(b)者，举以为例之两数也。……惟此两率者，为例已定，故今所设之数可以比照以求，所以亦名比例式也。”今有术遂改称 “比例”。