二次效用函数quadratic utility function

其代数形式是二次方程的效用函数。在经济分析中，用效用函数来概括消费者行为通常是很方便的，即假设存在一个函数u: X→R，使得x>y，而且仅当u (x) >u (y)。由此可以证明，如果这个偏好序满足完备性、反身性、传递性和连续性假设，则它就可以用一个连续效用函数来表示。只要效用函数是可微的，就可以用微积分来刻画消费者最优化行为的特征。解效用最大化问题的拉格郎日函数可以写成： L=u (x) -λ (px-m)，其中λ是拉格郎日乘数。拉格郎日函数对物品i和物品j的二阶导数为：∂²u(x)/∂x_i∂x_j，因此，二阶条件可以写成： h^tD²u (x^*),h≤0，对所有h使得ph=0。
这个条件要求效用函数的海塞矩阵对正交于价格向量的所有的h是负半定的。这实质上与要求效用函数u(x) 为局部拟凹是等价的。从几何图形上看，这个条件意味着上水平集一定位于最优消费束的预算超平面的上方。二次效用函数最典型地应用于证券投资组合分析。如果投资者在资产选择中假定只受收益的概率分布的平均值和方差的影响，这种函数就是所需要的。