Klein群的有限性定理

---

群理论是19世纪Schottky、Klein和Poincare创立的。

此后长期没有得到充分地发展。直到近年来，由于Thurston的工作，Klein群的几何与拓扑的方法才得到明显的进展。

Klein群的解析理论是从1964年Ahlfors的文章《Finitely generated Kleinian groups》开始的。文中的Ahlfors有性定理是解析理论的基础。从此，有限生成的Klein群曾一度成为Klein群理论研究的中心课题。

设Г是一个Klein群，Ω=Ω(Г)是Г的全不连续区域，是它的极限集，则轨道空间Ω(Г)／Г是一些Riemann曲面的并。

如果△是Ω的一个分支，Г_△是△的稳定子群，则△／Г_△是分岐的Riemann曲面。两个分支△₁，△₂称为共轭的，如果有γ∈Г，使得γ(△₁)=△₂。

如果△₁，△₂，…，是Г的两两不共轭的完备的分支，Г_j=Г△j，则

(1)Ω(Г)／Г≈∪△₁／Г₁+∪△₂／Г₂+…

称Klein群Г在分支△上是有限型的，如果△／Г△是由一个紧Riemann曲面去掉有限个点得到的。称Klein群Г是有限解析型的，如果它只有有限个非共轭的分支，而且在每个分支上都是有限型的。Ahlfors得到Ahlfors有限性定理：有限生成的Klein群是有限解析型的。

这个定理的逆定理是不真的。

1967年Bers得到更精细的结果。如果Г是非初等的Kelin群，Ω的每个分支△都有Poincare度量，而且这个度量可以诱导到Ω／Г上。

这时可以计算出Ω／Г的面积Area(Ω／Г)。Г是有限解析型的，当且仅当Area(Ω／Г)是有限的。Bers得到两个有限性定理，其中Bers第一有限性定理也称为面积定理。

Bers面积定理：如果Г有N个生成元，则Area(Ω／Г)≤4π(N－1)。

Bers第二有限性定理：如果K(Г)为Ω／Г的分支数，则K(Г)≤18(N－1)。

Bers的面积不等式是准确的，当Г是Schottky群时等式成立。

对分支数不等式，Maskit猜测K(Г)≤2(N－1)，至今尚未证实。20世纪70年代Kra［3］研究了Klein群的自守形式和Eichler上同调理论，这一理论更适合于讨论有限性定理。

一个Ω上的可测函数μ称为权(－2q)的自守形式，如果(γ(z))γ′^q(z)=μ(z)，对一切γ∈Г成立。对q≥2，为Ω上有界的自守形式空间，B_q(Ω，Г)为它的全纯子空间。

设П_2q－2是阶数不超过2q－2的多项式全体，群Г按规律：右作用在П_2q－2上。映射x：Г→П_2q－2称为上闭链如果x(γ₁·γ₂)=x(γ₁)·γ₂+x(γ₂)，对一切γ₁，γ₂∈Г成立。对每个P∈П_2q－2，映射x∶γ→P·γ－P称为上边缘链。显然，上边缘链必是上闭链。

一阶Eichler上同调群Н1(Г，П_2q－2)是上闭链除以上边缘链所得的商空间。如果Г是有限生成的，生成元个数为N，则dimH¹(Г，П_2q－2)≤(2q－1)(N－1)。

当Г是有限生成的自由群时等式成立。设A∈Г是一个抛物元素。一个上同调类［x］称为关于A是抛物的，如果存在v∈П_2q－2，使得x(A)=v·A－v。

PH¹(Г，П_2q－2)是关于Г中所有抛物元素都是抛物的上同调类。PH¹(Г，П_2q－2)是Н¹(Г，П_2q－2)的子空间。给定一个有界的自守形式μ位势Fμ(z)是全平面上的连续函数，且x_μ∶γ→是一个上闭链，从而得到B_ers映射

。

β_q^*限制在全纯自守形式空间上，Ahlfors证明是单射，Kra［3］证明当Г是有限解析型时是单射。Bers猜测β_q^*总是单射，此猜想对一般情况尚未证实。对Klein群Г总可得到蕴含关系。

(3)有限生成→Н²(Г，n_2q－2)有限维→B_q(Ω，Г)有限维→有限解析型。

80年代Sullivan，Kra研究了尖点形式的有限性定理：如果Г有N个生成元，则Г的尖点形式最多有5(N－1)个。用dim(Н1(Г，П_2q－2)／PH¹(Г，П_2q－2)可以得到尖点形式的更精确的估计，此外对拟尖点，抛物不动点都可以估计。

例如Kra得到Kra定理：如果是有N个生成元的Klein群，则Λ最多含有18(N－1)互不等价的抛物元素的不动点。

近年来，有限性定理的研究仍在继续，从蕴含关系(3)可见，有限生成，Н¹(Г，П_2q－2)有限维，B_q(Ω，Г)有限维，有限解析型之间尚存在一些间隙。王键和蔡惠京的文章中定义了这一类拟有限生成的Klein群，它也具有Н¹(Г，П_2q－2)有限维的性质，所得结果在弥补这些间隙方面是一个初探。

。

【参考文献】：

1 Bers L. J. Analyse Math,1967,18:23～41

2 Kra I. Reading, Massachusetts, 1972

3 Sullivan D,Acta. Math,1981,147.289～299

4 Ahlfors.L. V Amer J Math,1984,86:413～429

5 Kra I. J. D'Analyse Math. 1983/1984,43:51～87

6 王键．湘潭大学学报，1990，12(1)∶1～7；1990，12(2)∶1～7；1992，14(2)∶15～24。

(湘潭大学王键教授撰)