一元二次方程的根与系数的关系yiyuan erci fangcheng de gen yu xishu de guanxi

若一元二次方程

ax²+bx+c=0(a,b,c∈F,a≠0)

的两个根是x₁,x₂，则x₁+x₂＝-b/a,x₁x₂＝c/a.反之，若x_1,x2满足 x₁+x₂＝-b/a且x₁x₂＝c/a，则x₁,x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的二根.
对于首项系数为1的一元二次方程的根与系数间的关系具有下面更加简明的形式：
若x₁,x₂是方程x²+px+q=0(p,q∈F)的二根，则x₁+x₂＝-p,x₁x₂＝q.反之，若x₁,x2满足x₁+x₂＝-p,x₁x₂＝q，则x₁,x₂是方程x²+px+q=0的二根.
对于实系数的一元二次方程ax²+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)，不论其是有二实根还是有二虚根，其根与系数之间都满足上面的关系.在对有实根的实系数一元二次方程运用根与系数的关系解题时，要注意满足判别式是非负数的条件.例如，解“已知关于x的方程x²+2(m-2)x+m²+4=0的两实根的平方和比两根之积大21，求实数m的值”一题时，据题意应列出x₁²+x₂²-x₁x₂＝21(x₁,x₂是方程之二根)和△=4(m-2)²-4(m²+4)≥0两个条件，由x₁²+x₂2-x₁x₂＝21可得到m₁＝-1和m₂＝17两个值，由△≥0可得出m≤0.最后只能得到m=-1一个值.因为m=17不满足第二个条件△≥0，故当m=17时方程无实根，不合题意，应当舍去.若此题改为：“已知方程x²+2(m-2)x+m²+4=0两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值”.则不必满足△≥0的条件，故求出m的值为-1和17两个.