一元二次方程根的判别式yiyuan erci fangcheng gen depanbieshi

称b²-4ac为方程

ax²+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)

的根的判别式，常用希腊字母“△”来表示.
关于根的判别式有下面的定理：当△>0时，方程有二不等之实根；当△=0时，方程有二相等实根；当△<0时，方程无实根.定理的证明可以从一元二次方程求根公式的推导过程中得到(参见“一元二次方程的求根公式”).
一元二次方程根的判别式定理的逆定理也存在，其逆定理是：若方程有二不等之实根，则△>0；若方程有二相等之实根，则△=0；若方程无实根，则△<0.这个逆定理容易用穷举法证明.
在运用根的判别式定理（或逆定理）解题时，要注意方程的二次项系数不为零的条件，例如，当k为何实数值时，关于x的方程(k+1)x²-(2k+1)x+k-1=0有二不等之实根，若只考虑△>0，便会得到下面的结论：当△=(2k+1)²-4(k²-1)>0即k>-5/4时，方程有二不等之实根.这个结论是有问题的.若取k=-1(满足k>-5/4)，此时方程是x-2=0，是一元一次方程，仅有一个实根.因为只有一元二次方程才能运用一元二次方程根的判别式定理，故解上面的题时，列出的条件应当是当△>0且k+1≠0时，方程有二不等之实根.
另外，还必须注意上面所说的根的判别式定理是对于实系数一元二次方程而言，对于复系数一元二次方程则不能运用，例如，方程x²-2ix-1=0,△=(-2i)²+4=0，但此方程无二相等实根，它有两个相等的虚根i，对于复系数的一元二次方程ax²+bx+c=0(a,b,c∈C,a≠0)，利用△=b²-4ac的值是否为零可以判断它的二根是否相等，即：当△=0时，方程有二等根；当△≠0时，方程有二不等根，逆之也成立.