1691年

罗尔[法]著《方程的解法》一书中指出：在f(x)=0的两个相邻实根之间，f′(x)=0至少有一个实根(其中f(x)为多项式)，从而发现了“罗尔定理”，但未证明。
雅各布·伯努里[瑞士]在《教师学报》发表论文，推导出跟踪曲线方程，对于曲线上任一点P,PT/OT为常数，推得dy/ds=y/a,(s为弧长)。从这方程推得x+＝alog[a+/y] 和作为曲线的特征积分。

跟踪曲线方程

莱布尼茨发现了解常微分方程的变量分离法。他解决了形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程，只要将其写成dx/f(x)=g(y)dy/y便能两边积分而解出，并且他还设法令y=ux，把一阶齐次方程y′=f(y/x)化成积分。
约翰·伯努里[瑞士]开始研究平面曲线问题，并得到了关于包络的一些新结果，开始写作第一本微积分教材。
雅各布·伯努里研究了船帆在风力下的形状问题，即膜盖问题（图），而且引出二阶方程d²x/ds²＝(dy/ds)³；同年，约翰·伯努里在他的微积分教科书中处理了这一问题，并证明它与悬链线问题等价。它建立在微分方程dy/dx=s/c的基础上，其中s是B到任意点A的弧长，而c依赖于弦在单位长度内的重量，从此解出y=c·cos h/x/c。莱布尼茨用微积分的方法也得到这一结果。

>膜盖问题的二阶常微分方程

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1691年

越南国王黎维祯遣使赴中国进贡，并请求归还牛羊、蝴蝶、普园三处地方。
英国与爱尔兰签订《利美利克和解条约》，准许爱尔兰官兵自由赴法和信仰宗教的自由，对参加詹姆斯战争者一律大赦。
塞尔维亚人有6万余户迁入匈牙利。
摩洛哥素丹伊斯梅尔夺回阿尔西拉，清除了欧洲人在大西洋海岸地区的统治势力，仅马扎甘仍为葡萄牙所占领。

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1691年

基歇尔[德]制成复式显微镜。

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1691年

梅文鼎写就《历学疑问》30余篇。

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1691年

4月，日本开发别子铜矿。
英国建立国际邮政定期制度。

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1691年

哈弗尔[英]首次对骨骼结构作详尽研究。

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1691年

7月22日，英、荷联军在印度的阿克里姆败法军。
8月19日，奥地利军队在边区长官路德维希·冯·巴登的指挥下，在斯兰卡门战役中，大败土耳其军队，土耳其宰相穆斯塔法·柯普律吕战死。

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1691年

约翰·雷[英]发表了《关于化石是已灭绝的生物的石化遗骸》的论文，此观点过一个世纪之后才为人所接受。

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1691年

2月，为备噶尔丹来犯，清廷命定北将军瓦岱领火器营兵1 000往张家口；命安北将军郎谈往大同驻防。
噶尔丹残部逃入土谢图汗部的汗乌兰，由于饥荒，人员大批死亡失散，夏末到达科布多，剩兵仅数千。
5月，康熙在边外“抗绥安辑”喀尔喀蒙古，阅八旗军并亲自操弓射矢。
8月，清廷撤回驻归化城的京师八旗兵。

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1691年

3月，《通鉴纲目》译成满文。康熙作序，称： “皆有关于治天下国家之务，非等于寻常记载之书，法戒昭然，永为金鉴。”

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1691年

12月，清廷咨俄国尼布楚长官斯克里皮增，允许俄商一行77人来京贸易。

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1691年

弗兰斯提德[英]和哈雷开始致力于对月球历表修正，使之满足“以必需的精度确定经度这个伟大目标”。

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1691年

4月，吏部主事朱敦厚在山东潍县知县任内，加派、贪赃4万余两。经查实，朱被处绞刑，刑部尚书徐乾学、山东巡抚钱珏亦因庇护其罪，被革职。
5月，康熙至多伦诺尔（今内蒙古锡林郭勒盟多伦），召集喀尔喀蒙古左右翼、内蒙古49旗王公贵族盟会，历时7天，使喀尔喀诸部消除旧怨，完全降附于清廷。
9月，康熙巡视边外。

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1691年

哈雷提出，若对距地球较近的金星凌日进行协调观测，可得到太阳视差较精确的值。他发表这现象的星历表证明，预计金星下次将在1761年5月发生凌日现象。

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1691年

英国威廉·配第的遗著《爱尔兰政治解剖》出版。它以一系列分析手段和大量计算手段清晰地描绘了爱尔兰等地的经济、军事、政治状态。
英国天文学家和数学家哈雷再度编辑《哲学学报》，自此以后，这一科学期刊从未间断。
英国洛克发表《论降低利息和提高货币价值的后果》一文。
日本解日莲宗悲田派之禁。
日本遣人赴朝鲜购买儒书。
法国马扎然图书馆重新开放。
英国海盗威廉·丹皮尔完成其环球航行。1697年出版了他编写的《新的环球行记》。