渐近展开法

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逼近论和解析数论的重要工具。

其基本思想是利用一个简单函数系去逼近一个复杂的函数，并使之逼近到任意精确的程度。因此，渐近展开方法在理论和实际计算中都有重要应用。

设｛φ_n(x)｝(n=0，1，2，…)为一函数序列，它满足下列条件：φ₁(x)=0(φ₀(x))，φ₂(x)=0(φ₁(x))，…(x→∞)，设存在一列常数C₀，C₁，C₂，…使得函数f(x)有以下的估计

f(x)=o(φ₀(x))， (x→∞)；

f(x)=c₀φ₀(x)+o(φ₁(x))， (x→∞)；

f(x)=c₀φ₀(x)+c₁φ₁(x)+o(φ₂(x))， (x→∞)；

…………

…………

显然，上式是一个逐次精密的过程，如果上式成立，则记

f(x)≈c₀φ₀(x)+c₁φ₁(x)+c₂φ₂(x)+…，

(x→∞)

并称右式为f(x)关于函数列｛φ_n(x)｝的渐近级数或渐近展开，例如，函数，利用分部积分法，可以得到exf(x)关于函数列的渐近级数是，并有以下估计式成立

在渐近展开中，最简单最重要的是取φ_n(x)=x^－n，(n=0，1，2，…)的情形，对此种情形，渐近展开的意义可表述如下：设函数F(x)与级数的第n个截断之差，对于任意固定的n都满足条件，则称级数是函数F(x)的渐近展开或渐近级数，并记为

F(x)≈C₀+C₁X^－1+C₂X^－2+…

显然，一个函数的渐近级数并不一定收敛到该函数，甚至它可以是发散的。渐近展开还有以下重要性质：(1)(唯一性)若，且，则必有C_n=B_n(n=0，1，2，…)(2)若，，则，，其中；(3)若则；(4)若，则。