放射线法

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若钣金制件的侧面是由棱锥面或圆锥面所围成时，则这种结构的表面也属于可展表面。由于棱锥面和圆锥面上的棱线和素线相交于锥顶，若沿制件表面的棱线或素线剪开，然后把各棱线或各素线绕着锥顶摊平在一个平面上，则所得表面展开的各棱线或各素线依然汇交于一点，作出的展开图上各棱线或各素线也汇交于一点。这种利用棱线或素线汇交于一点的作图方法，称为放射线法。

1．棱锥管展开图的作法

【例6】 图3－20(a)、(b)为正四棱锥及其主、俯视图，作其表面展开图。

图3－20 正四棱锥展开图

(1)分析

从图中可知正四棱锥的侧面是由四个全等的等腰三角形所围成，左右侧面是正垂面，前、后侧面为侧垂面，在主、俯视图找不到实形。画展开图依次作出四个等腰三角形的实形，底面正四边形边是水平线，水平投影为实长；四个侧棱相等并汇交于一点S，是一般位置线。主、俯视图找不到实长，因此，求作其展开图，关键是求得棱线的实长。

(2)作图［图3－20(b)、(c)］

①用旋转法或直角三角形法求棱线的实长。用SC旋转得s₀c₁投影或SC为底边作直角三角形得s₀c₀，s₀c₀=棱线实长。

②以S为圆心，棱线长sc₁=s₀c₀为半径画圆弧，并以底边的实长在圆弧上截取点B、C、D、A、B。

③把各点B、C……顺序连线，并分别与S点连线，得四个全等的等腰三角形，为正四棱锥管展开图。

【例7】 如图3－21(a)、(b)所示，斜口直四棱锥管及其主、俯视图，作其展开图。

图3－21 斜口直四棱锥管展开图

(1)分析

斜口直四棱锥管可看成直四棱锥被正垂面截切而成，其侧面是由两个等腰梯形和两个梯形所围成，画展开图即依次画出这四个梯形的实形。

(2)作图［图3－21(b)、(c)］

①按图3－20方法作完整四棱锥展开图(底面对应边相等)。

②在主视图上定出斜口面与棱线相交点f′(e′)、g′(h′)，引水平线与斜线s′c₁或s₀c₀相交，得四个梯形面上棱线的实长(C₀F₀、C₀G₀……)。

③在四棱锥展开图上的棱线上取BF=C₀F₀、GG=C₀G₀……得斜口棱线端点F、G……

④顺序连接这些点，即得所求。

【例8】 如图3－22(a)、(b)所示，斜漏斗及其主、俯视图，画其展开图。

图3－22 斜漏斗展开图

(1)分析

斜漏斗是平口斜四棱锥。从图中看出左右侧面是两个等腰梯形，前后侧面是两个前后对称相等梯形。作展开图应依次作出这四个面的实形：即先作斜四棱锥展开图，然后，再截取各棱线的有效长度，即可作出其展开图。

(2)作图［图3－22(b)、(c)］

①延长主、俯视图轮廓线，得斜四棱锥顶点S的投影s′、s。

②底面四边的水平投影ab为实长。由于对称关系，只需用旋转法求作棱线SA、SB的实长、即可；若取Ⅰ、Ⅱ为接缝线(剪开)，(1′)(2′)为实长。

③以S为顶点，分别用已知长依次作出△SIA、△SAB……

④求作棱线有效长度、……

⑤在SI上截取接缝线Ⅰ Ⅱ=(1′)(2′)；在棱线SA上截取；在棱线SB上截取……

⑥将所得各点Ⅱ、D、C、Ⅲ顺序连线，即得漏斗前半部展开图。后半部展开图形状与其相同。

2．圆锥管展开图的作法

圆锥面也可看成正棱锥面底面的边数无限增多而形成的。圆锥面的展开变成棱锥面的展开，即可用放射法作图。用这种方法作图虽有一定误差，但钣金制件在误差允许范围内可通过增加圆周等分数来解决。

【例9】 圆锥表面展开图

(1)分析

如图3－23(a)所示圆锥素线汇交于锥顶，其锥面的展开图为扇形。扇形半径等于圆锥母线的长度R，扇形的圆弧长等于圆锥底圆的周长πd(d为底圆直径)，扇形的角度α=180°d／R。

图3－23 圆锥面展开图

(2)作图［图3－23(b)］

①把俯视图的圆周分为十二等份，通过等分点在主视图作出对应素线。

②以顶点s′为圆心，用圆锥(素线)为半径画圆弧，自点O开始用圆周弦长代替弧长，在圆弧上截取，……得点Ⅰ、Ⅱ……分别与s′相连，得到圆锥面近似展开图(图中只标出一半)。

【例10】 如图3－24(a)、(b)为斜口圆锥管及其主、俯视图，作其展开图。

图3－24 斜口圆锥管的展开图

(1)分析

从图中已知斜口圆锥管是圆锥被正垂面斜截去顶部而形成的。斜口形状为椭圆，正面投影积聚为一斜线。它的展开按完整圆锥展开成扇形后，再用有效素线实长在对应素线上截取各点，并连成光滑曲线，即得所求。

(2)作图

①按图3－24(c)所示方法画出完整圆锥面的展开图。

②在俯视图的圆周上等分八等分点1、2……在主视图画出八条对应素线，得素线与斜口交点a′、b′……用旋转法(过这些点引水平线与圆锥面最左素线s′1′的交点)，求出这些点在素线各自实际位置，即把同一条素线分为上、下两段实长。

③以S为圆心，Sa′……为半径画弧，在展开图上与各自素线交点A、B……

④把点A、B、C……各点连成光滑曲线，即得斜口圆锥管的展开图。

【例11】 求作图3－25所示的上平口、下曲口圆锥管的展开图。

图3－25 上平口、下曲口圆锥管展开图

从主、俯视图已知，上平口与圆锥轴线垂直，在上平口以上部分为正圆锥面，平口的水平投影为实形(圆)；下曲口为曲面，水平投影为曲线。作其展开图可分两步：

第一步，按图3－25所示方法，把上平口以上当成完整圆锥面展开成扇形。

第二步，把展开图上各素线延长，同时用旋转法在主视图上求得实体部分各素线有效实长后，在展开图上截取相应长度，得点A、B……并连成光滑曲线，即得所求。

【例12】 求作图3－26所示的斜椭圆锥管的展开图。

图3－26 斜椭圆锥管展开图

(1)分析

斜椭圆锥的正截面是椭圆，作其展开图时，可按图3－22所示斜棱锥来展开，由于斜椭圆锥面上的素线不等，应分别求出它们的实长。

(2)作图

①将俯视图上圆周分为12等份，并画出各素线的两面投影(图中前、后对称，只画前半部的投影)。

②用旋转法求出各素线的实长s′1₁、s′2₁、s′3₁……

③用素线s′0′、s′1′以及底圆等分点之间的弦长作第一个△S0I，用同法依次作出其他的11个三角形。

④把三角形底边各顶点顺序连成光滑曲线，得斜椭圆锥表面展开图。

【例13】 求作图3－27所示的平口斜椭圆锥管展开图。

图3－27 平口斜椭圆锥管展开图

平口斜椭圆锥管可看成斜椭圆锥截切去锥顶部分而成，应先按图3－26所示方法求作完整斜椭圆锥表面展开图。用旋转法求得平口斜椭圆锥管各素线的有效长度，即以s′为圆心，分别把所截部分的素线实长转到展开图上对应素线上，得各点并顺序连成光滑曲线，得所求。