幂级数

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幂级数定义 形如

或

的级数称为幂级数．

阿贝尔(Abel)第一定理 若幂级数在点x₀≠0处收敛，则它在区间(－|x₀|，|x₀|)内收敛且绝对收敛；若在点x₀≠0处发散，则(－∞，－|x₀)∪(|x₀|，+∞)发散．

幂级数的收敛半径

(1)对于幂级数，总存在不小于0的数R，使|x|＜R时收敛，|x|＞R时发散，则R称为幂级数的收敛半径．当R=0时，仅在x=0处收敛，在其他点均为发散；当R=+∞时，处处收敛．

(2)设幂级数(或称不缺项的幂级数)，如果

存在且为ρ或无穷大，则其收敛半径为；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0．

阿贝尔第二定理 幂级数在收敛开区间(－R，R)(R为收敛半径)内任何一个闭区间上一致收敛．