逻辑主义

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在世纪初，在关于数学基础的讨论中，形成了几个不同的学派。

逻辑主义是其中之一，代表人物是英国逻辑学家罗素。

逻辑主义认为，数学即逻辑，二者没有分界线。

逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代，数学可以还原为逻辑。

罗素在与怀特海合著的《数学原理》一书中，用详尽的推演表明怎样从逻辑过渡到数学。

这种过渡必须假设无穷公理和选择公理。这说明逻辑不能无条件地直接地过渡到数学。

为了坚持自己的主张，罗素把必须至少假设上述公理之一才能推出的定理表述为一个条件命题。例如，定理A必须假设无穷公理，则表述为：如果无穷公理，则A。

从逻辑过渡到数学时，必须发展集合论。为了排除集合论悖论，罗素用分支类型论来改造朴素集合论，用这种十分复杂的分支类型论作为明白而又简单的自然数论的前提，使不少数学家对逻辑主义持怀疑和否定态度。

更重要的是，从分支类型论必须借助可化归公理才能推出整个数学。但分支类型论的全部根据是“恶性循环原则”，而可化归公理的精神与恶性循环原则是相冲突的。

面对这一情况，逻辑主义者采取了两种不同的方法：一是干脆不用可化归公理，保留分支类型论的原来面貌，这时推不出全部数学。另一种是直接采用根据可化归公理简化后所得的结果，即直接采用简单类型论，这时可推出整个经典数学了。但因为放弃了恶性循环原则，和分支类型论相比，理论的根据少了，要证明相容性更困难了。